用常压连续精馏塔分离苯－甲苯混合物，原料处理量为100(kmol/h)，进料为饱和蒸汽，含苯 0.40，塔顶馏出液中含苯 0.9，塔釜含苯低于 0.05，（以上为摩尔分率）。相对挥发度 alpha = 2.5，操作回流比为 4，塔顶采用全凝器。试求（1）塔顶冷却器以及塔釜再沸器的处理量；（2）离开塔顶第二层理论板的蒸汽和液体组成。

本题主要考查连续精馏塔的物料衡算、操作线方程以及理论板组成的计算。解题思路如下：

1. 计算塔顶馏出液和塔釜残液的流量：根据全塔物料衡算和易挥发组分的物料衡算列出方程组，求解得到塔顶馏出液流量 $D$ 和塔釜残液流量 $W$。
2. 计算塔顶冷却器和塔釜再沸器的处理量：塔顶冷却器处理的是塔顶蒸汽量 $V$，塔釜再沸器处理的是上升到塔釜的蒸汽量 $V'$。根据回流比和物料衡算关系分别计算 $V$ 和 $V'$。
3. 推导精馏段和提馏段操作线方程：根据回流比和塔顶馏出液组成推导精馏段操作线方程；根据进料热状况和物料衡算推导提馏段操作线方程。
4. 计算塔顶第一层和第二层理论板的组成：塔顶采用全凝器，所以塔顶蒸汽组成等于塔顶馏出液组成。利用精馏段操作线方程和相平衡方程交替计算各层理论板的气液组成。

（1）计算塔顶冷却器以及塔釜再沸器的处理量

• 全塔物料衡算：
  • 总物料衡算：$F = D + W$，其中 $F = 100 \, \text{kmol/h}$ 为原料处理量，$D$ 为塔顶馏出液流量，$W$ 为塔釜残液流量。
  • 易挥发组分物料衡算：$F x_F = D x_D + W x_W$，其中 $x_F = 0.40$ 为原料中苯的摩尔分率，$x_D = 0.9$ 为塔顶馏出液中苯的摩尔分率，$x_W = 0.05$ 为塔釜残液中苯的摩尔分率。
  • 将上述两个方程联立，得到方程组：
    $\begin{cases}100 = D + W \\ 100\times0.40 = D\times0.9 + W\times0.05\end{cases}$
  • 由第一个方程可得 $W = 100 - D$，将其代入第二个方程：
    $100\times0.40 = D\times0.9 + (100 - D)\times0.05$
    $40 = 0.9D + 5 - 0.05D$
    $40 - 5 = 0.9D - 0.05D$
    $35 = 0.85D$
    解得 $D = \frac{35}{0.85} \approx 41.18 \, \text{kmol/h}$。
  • 将 $D = 41.18 \, \text{kmol/h}$ 代入 $W = 100 - D$，可得 $W = 100 - 41.18 = 58.82 \, \text{kmol/h}$。
• 计算塔顶冷却器处理量 $V$：
  • 已知操作回流比 $R = 4$，根据回流比的定义 $R = \frac{L}{D}$，可得回流液流量 $L = R D = 4\times41.18 = 164.72 \, \text{kmol/h}$。
  • 塔顶蒸汽量 $V = L + D = 164.72 + 41.18 = 205.9 \, \text{kmol/h}$，即塔顶冷却器处理量为 $205.9 \, \text{kmol/h}$。
• 计算塔釜再沸器处理量 $V'$：
  • 因为进料为饱和蒸汽，所以 $q = 0$。根据提馏段上升蒸汽量与精馏段上升蒸汽量的关系 $V' = V + (q - 1)F$，可得 $V' = V + F = 205.9 + 100 = 305.9 \, \text{kmol/h}$，即塔釜再沸器处理量为 $305.9 \, \text{kmol/h}$。

（2）计算离开塔顶第二层理论板的蒸汽和液体组成

• 推导精馏段操作线方程：
  • 精馏段操作线方程为 $y_{n + 1} = \frac{R}{R + 1}x_n + \frac{x_D}{R + 1}$，将 $R = 4$，$x_D = 0.9$ 代入可得：
    $y_{n + 1} = \frac{4}{4 + 1}x_n + \frac{0.9}{4 + 1} = 0.8x_n + 0.18$
• 推导提馏段操作线方程：
  • 提馏段操作线方程为 $y_{m + 1} = \frac{L'}{V'}x_m - \frac{W x_W}{V'}$，其中 $L' = L + qF = 164.72 + 0\times100 = 164.72 \, \text{kmol/h}$，$V' = 305.9 \, \text{kmol/h}$，$W = 58.82 \, \text{kmol/h}$，$x_W = 0.05$。
  • 代入可得：
    $y_{m + 1} = \frac{164.72}{305.9}x_m - \frac{58.82\times0.05}{305.9} \approx 0.539x_m - 0.0096$
• 计算塔顶第一层板的组成：
  • 塔顶采用全凝器，所以塔顶蒸汽组成 $y_1 = x_D = 0.90$。
  • 根据相平衡方程 $y = \frac{\alpha x}{1 + (\alpha - 1)x}$，可得 $x_1 = \frac{y_1}{\alpha - (\alpha - 1)y_1} = \frac{0.90}{2.5 - (2.5 - 1)\times0.90} = \frac{0.90}{2.5 - 1.5\times0.90} = \frac{0.90}{2.5 - 1.35} = \frac{0.90}{1.15} \approx 0.783$。
• 计算塔顶第二层板的组成：
  • 由精馏段操作线方程 $y_2 = 0.8x_1 + 0.18 = 0.8\times0.783 + 0.18 = 0.6264 + 0.18 = 0.8064 \approx 0.806$。
  • 再根据相平衡方程可得 $x_2 = \frac{y_2}{\alpha - (\alpha - 1)y_2} = \frac{0.806}{2.5 - (2.5 - 1)\times0.806} = \frac{0.806}{2.5 - 1.5\times0.806} = \frac{0.806}{2.5 - 1.209} = \frac{0.806}{1.291} \approx 0.625$。