题目
- 14 设匀强电场的电场强度 E 与半径为 R 的半球面的对称轴平行,试 计算通过此半球面的电场强度通量 .
- 14 设匀强电场的电场强度 E 与半径为 R 的半球面的对称轴平行,试 计算通过此半球面的电场强度通量 .
题目解答
答案
分析 方法 1:由电场强度通量的定义,对半球面 S 求积分,即Φs E dS S方法2:作半径为 R 的平面 S′与半球面 S 一起可构成闭合曲面,由于 闭合面内无电荷,由高斯定理 这表明穿过闭合曲面的净通量为零,穿入平面 S′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面 S 的电场强度通量 . 因而 解 1 由于闭合曲面内无电荷分布,根据高斯定理,有 依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元 dS 的方向, 解 2 取球坐标系,电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为① 5 - 15 边长为 a 的立方体如图所示,其表面分别平行于 Oxy、 Oyz 和 Ozx 平面,立方体的一个顶点为坐标原点 . 现将立方体置于电场强度 E = E1 kx i +E2 j ( k,E1 ,E2 为常数 ) 的非均匀电场中,求电场对立 方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量 .解 如图所示,由题意 E 与 Oxy 面平行,所以任何相对 Oxy 面平行的立方 体表面,电场强度的通量为零,即 ΦOABC ΦDEFG 0 . 而 考虑到面 CDEO 与面 ABGF 的外法线方向相反, 且该两面的电场分布相同, 故有同理 ΦAOEF E dS E1i E2 j dSi E1a因此,整个立方体表面的电场强度通量
解析
步骤 1：确定电场强度通量的定义
电场强度通量是电场强度矢量与通过该面的面积矢量的点积的积分，即 \(\Phi_s = \int_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}\)。
步骤 2：应用高斯定理
由于电场是匀强电场，且半球面的对称轴与电场强度平行，我们可以利用高斯定理来简化计算。高斯定理表明，穿过闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面内所有电荷的代数和除以真空介电常数 \(\epsilon_0\)。由于题目中没有提到闭合曲面内有电荷，我们可以假设闭合曲面内没有电荷，因此穿过闭合曲面的电场强度通量为零。
步骤 3：计算半球面的电场强度通量
由于闭合曲面内没有电荷，穿过闭合曲面的电场强度通量为零，这意味着穿过半球面的电场强度通量等于穿过与半球面相对的平面的电场强度通量的相反数。由于电场强度与半球面的对称轴平行，穿过平面的电场强度通量等于电场强度乘以平面的面积，即 \(\Phi_{平面} = E \cdot \pi R^2\)。因此，穿过半球面的电场强度通量为 \(\Phi_{半球面} = -\Phi_{平面} = -E \cdot \pi R^2\)。
电场强度通量是电场强度矢量与通过该面的面积矢量的点积的积分，即 \(\Phi_s = \int_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}\)。
步骤 2：应用高斯定理
由于电场是匀强电场，且半球面的对称轴与电场强度平行，我们可以利用高斯定理来简化计算。高斯定理表明，穿过闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面内所有电荷的代数和除以真空介电常数 \(\epsilon_0\)。由于题目中没有提到闭合曲面内有电荷，我们可以假设闭合曲面内没有电荷，因此穿过闭合曲面的电场强度通量为零。
步骤 3：计算半球面的电场强度通量
由于闭合曲面内没有电荷，穿过闭合曲面的电场强度通量为零，这意味着穿过半球面的电场强度通量等于穿过与半球面相对的平面的电场强度通量的相反数。由于电场强度与半球面的对称轴平行，穿过平面的电场强度通量等于电场强度乘以平面的面积，即 \(\Phi_{平面} = E \cdot \pi R^2\)。因此，穿过半球面的电场强度通量为 \(\Phi_{半球面} = -\Phi_{平面} = -E \cdot \pi R^2\)。