题目
1.1 物质的体膨胀系数αv与等温压缩率kr的定义如下:-|||-(alpha )_(v)=dfrac (1)(v)(dfrac (Qv)(partial T)) , _(T)=-dfrac (1)(v)(dfrac (Qv)(partial p))-|||-试导出理想气体的av,kr与压力、温度的关系。
题目解答
答案
解析
考查要点：本题要求根据理想气体状态方程，推导体膨胀系数$\alpha_v$和等温压缩率$K_T$的表达式，核心思路是利用偏导数分别计算体积随温度和压强的变化率，并结合定义式进行化简。
关键点：
- 理想气体状态方程：$pV = nRT$，需将其改写为$V = \dfrac{nRT}{p}$，明确$V$与$T$、$p$的关系。
- 偏导数计算：
- 恒压下对$T$求导：$(\dfrac{\partial V}{\partial T})_p = \dfrac{nR}{p}$，结合$V = \dfrac{nRT}{p}$可得$\alpha_v = \dfrac{1}{T}$。
- 恒温下对$p$求导：$(\dfrac{\partial V}{\partial p})_T = -\dfrac{nRT}{p^2}$，结合$V = \dfrac{nRT}{p}$可得$K_T = \dfrac{1}{p}$。
推导$\alpha_v$：
- 表达式代入：由$V = \dfrac{nRT}{p}$，恒压下对$T$求偏导：
$\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_p = \dfrac{nR}{p}$ - 关联$\alpha_v$定义：
$\alpha_v = \dfrac{1}{V} \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_p = \dfrac{1}{\dfrac{nRT}{p}} \cdot \dfrac{nR}{p} = \dfrac{1}{T}$
推导$K_T$：
- 表达式代入：由$V = \dfrac{nRT}{p}$，恒温下对$p$求偏导：
$\left(\dfrac{\partial V}{\partial p}\right)_T = -\dfrac{nRT}{p^2}$ - 关联$K_T$定义：
$K_T = -\dfrac{1}{V} \left(\dfrac{\partial V}{\partial p}\right)_T = -\dfrac{1}{\dfrac{nRT}{p}} \cdot \left(-\dfrac{nRT}{p^2}\right) = \dfrac{1}{p}$