题目

一无限长导电圆柱（半径 a ），外侧有一同轴的导体圆管（内外半径b、c），导体圆柱通有电流一，导体圆管通有同向电流一。设电流都是均匀的分布在导体的截面上。求圆柱导体内、俩导体之间、导体圆管内外的磁感应强度大小。

一无限长导电圆柱（半径 a ），外侧有一同轴的导体圆管（内外半径b、c），导体圆柱通有电流 $I_1$ ，导体圆管通有同向电流 $I_2$ 。设电流都是均匀的分布在导体的截面上。求圆柱导体内、俩导体之间、导体圆管内外的磁感应强度大小。

题目解答

答案

在横截面内取半径为r的同心圆为回路，应用安培定理有：

$\oint_L^{ }B\cdot\mathrm{d}l=B\cdot2\pi r=\mu_0\sum_{ }^{ }I_i$

$B=\ \frac{\mu_0\sum_{ }^{ }I_i}{2\pi r}$

（1）当 $r<a$ 时：

$\sum_{ }^{ }I_i=\frac{I_1}{\pi a^2}\pi r^2=\frac{I_1r^2}{a^2}$

$B=\ \frac{\mu_0\sum_{ }^{ }I_i}{2\pi r}=\frac{\mu_0\frac{I_1r^2}{a^2}}{2\pi r}=\frac{\mu_0I_1r}{2\pi a^2}$

（2）当 $a\le r\le b$ 时：

$\sum_{ }^{ }I_i=I_1$

$B=\ \frac{\mu_0\sum_{ }^{ }I_i}{2\pi r}=\frac{\mu_0I_1}{2\pi r}$

（3）当 $b<r<c$ 时：

$\sum_{ }^{ }I_i=I_1+\frac{I_2}{\pi\left(c^2-b^2\right)}\pi\left(r^2-b^2\right)$

$=I_1+\frac{I_2\left(r^2-b^2\right)}{\left(c^2-b^2\right)}$

$B=\ \frac{\mu_0\sum_{ }^{ }I_i}{2\pi r}=\frac{\mu_0\left[I_1+\frac{I_2\left(r^2-b^2\right)}{\left(c^2-b^2\right)}\right]}{2\pi r}$

（4）当 $c<r$ 时：

$\sum_{ }^{ }I_i=I_1+I_2$

$B=\ \frac{\mu_0\sum_{ }^{ }I_i}{2\pi r}=\frac{\mu_0\left(I_1+I_2\right)}{2\pi r}$

综上所述，圆柱导体内 $B=\frac{\mu_0I_1r}{2\pi a^2}$ ，俩导体之间 $B=\ \frac{\mu_0I_1}{2\pi r}$ ，导体圆管内 $B=\ \frac{\mu_0\left[I_1+\frac{I_2\left(r^2-b^2\right)}{\left(c^2-b^2\right)}\right]}{2\pi r}$ ，导体圆管外 $B=\ \frac{\mu_0\left(I_1+I_2\right)}{2\pi r}$ ，解答完成。

解析

步骤 1：应用安培环路定理
安培环路定理指出，磁场强度B沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包围的电流的代数和乘以μ0（真空磁导率）。在本题中，我们选择一个与电流方向垂直的同心圆作为闭合路径，以计算不同区域的磁感应强度。

步骤 2：计算圆柱导体内（r < a）的磁感应强度
在圆柱导体内，电流均匀分布在半径为a的圆柱截面上。对于半径为r的同心圆，所包围的电流为I1 * (πr^2 / πa^2) = I1 * (r^2 / a^2)。根据安培环路定理，B * 2πr = μ0 * I1 * (r^2 / a^2)，从而得到B = μ0 * I1 * r / (2πa^2)。

步骤 3：计算两导体之间（a < r < b）的磁感应强度
在两导体之间，所包围的电流为I1。根据安培环路定理，B * 2πr = μ0 * I1，从而得到B = μ0 * I1 / (2πr)。

步骤 4：计算导体圆管内（b < r < c）的磁感应强度
在导体圆管内，所包围的电流为I1加上圆管内半径为r的同心圆所包围的电流。圆管内电流均匀分布在内外半径为b和c的圆环截面上，所包围的电流为I2 * (π(r^2 - b^2) / π(c^2 - b^2)) = I2 * (r^2 - b^2) / (c^2 - b^2)。根据安培环路定理，B * 2πr = μ0 * (I1 + I2 * (r^2 - b^2) / (c^2 - b^2))，从而得到B = μ0 * (I1 + I2 * (r^2 - b^2) / (c^2 - b^2)) / (2πr)。

步骤 5：计算导体圆管外（r > c）的磁感应强度
在导体圆管外，所包围的电流为I1 + I2。根据安培环路定理，B * 2πr = μ0 * (I1 + I2)，从而得到B = μ0 * (I1 + I2) / (2πr)。