.1-9 质点的运动方程为 =-10t+30(t)^2 和 =15t-20(t)^2 ,式中x、y的单位为m,t的单位-|||-为s.试求:(1)初速度的大小和方向;(2)加速度的大小和方向.

考查要点：本题主要考查质点运动学中速度和加速度的计算，包括矢量的大小和方向的求解。

解题思路：

1. 速度与加速度的导数关系：速度是位置对时间的一阶导数，加速度是速度对时间的一阶导数（或位置对时间的二阶导数）。
2. 矢量分解：将速度和加速度分解为$x$和$y$分量，分别计算。
3. 矢量大小与方向：利用勾股定理计算矢量大小，用反正切函数计算方向角，并根据分量符号确定象限。

破题关键：

• 正确求导：注意导数的计算规则，尤其是二次导数。
• 方向角的象限修正：根据分量的正负判断角度所在象限，必要时调整角度范围。

(1) 初速度的大小和方向

求速度分量

对$x(t) = -10t + 30t^2$求导得：
$v_x = \frac{dx}{dt} = -10 + 60t$
对$y(t) = 15t - 20t^2$求导得：
$v_y = \frac{dy}{dt} = 15 - 40t$

初速度分量（$t=0$）

$v_{x0} = -10 \, \text{m/s}, \quad v_{y0} = 15 \, \text{m/s}$

初速度大小

$v_0 = \sqrt{v_{x0}^2 + v_{y0}^2} = \sqrt{(-10)^2 + 15^2} = \sqrt{325} \approx 18.0 \, \text{m/s}$

初速度方向

方向角$\alpha$满足：
$\tan \alpha = \frac{v_{y0}}{v_{x0}} = \frac{15}{-10} = -1.5$
由于$v_{x0} < 0$且$v_{y0} > 0$，角度在第二象限：
$\alpha = 180^\circ - \arctan(1.5) \approx 180^\circ - 56^\circ 19' = 123^\circ 41'$

(2) 加速度的大小和方向

求加速度分量

对$v_x$求导得：
$a_x = \frac{dv_x}{dt} = 60 \, \text{m/s}^2$
对$v_y$求导得：
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = -40 \, \text{m/s}^2$

加速度大小

$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{60^2 + (-40)^2} = \sqrt{5200} \approx 72.1 \, \text{m/s}^2$

加速度方向

方向角$\beta$满足：
$\tan \beta = \frac{a_y}{a_x} = \frac{-40}{60} = -\frac{2}{3}$
由于$a_x > 0$且$a_y < 0$，角度在第四象限：
$\beta = -\arctan\left(\frac{2}{3}\right) \approx -33^\circ 41' \quad \text{或} \quad 360^\circ - 33^\circ 41' = 326^\circ 19'$