间歇式反应器中进行一级连串反应 A xrightarrow(k_1) P xrightarrow(k_2) S，则目的产物P达最大浓度时所需时间topt=（ ）A. (ln(k_1/k_2))/(k_1-k_2)B. (ln(k_1/k_2))/(sqrt(k_1k_2))C. (ln(k_1/k_2))/(k_2-k_1)D. (1)/(sqrt(k_1k_2))

本题考查一级连串反应中目的产物最大浓度时所需时间的计算，解题思路是先根据一级连串反应的动力学方程推导出目的产物$P$的浓度随时间变化的表达式，然后对该表达式求导，令导数为$0$，进而求出目的产物$P$达最大浓度时所需的时间$t_{opt}$。

对于一级连串反应$A \xrightarrow{k_1} P \xrightarrow{k_2} S$，设初始时$A$的浓度为$c_{A0}$，$P$和$S$的浓度为$0$。

• 步骤一：推导$A$的浓度随时间变化的表达式
  根据一级反应的动力学方程$\frac{dc_{A}}{dt}=-k_1c_{A}$，对其进行积分：
  $\int_{c_{A0}}^{c_{A}}\frac{dc_{A}}{c_{A}}=-\int_{0}^{t}k_1dt$
  根据积分公式$\int\frac{1}{x}dx=\ln x+C$可得：
  $\ln\frac{c_{A}}{c_{A0}}=-k_1t$
  则$c_{A}=c_{A0}e^{-k_1t}$。
• 步骤二：推导$P$的浓度随时间变化的表达式
  对$P$进行物料衡算可得$\frac{dc_{P}}{dt}=k_1c_{A}-k_2c_{P}$，将$c_{A}=c_{A0}e^{-k_1t}$代入上式得：
  $\frac{dc_{P}}{dt}=k_1c_{A0}e^{-k_1t}-k_2c_{P}$
  这是一个一阶线性非齐次常微分方程，其通解形式为$c_{P}=e^{-\int k_2dt}(\int k_1c_{A0}e^{-k_1t}e^{\int k_2dt}dt+C)$。
  先计算$e^{-\int k_2dt}=e^{-k_2t}$，$e^{\int k_2dt}=e^{k_2t}$，则：
  $c_{P}=e^{-k_2t}(\int k_1c_{A0}e^{-k_1t}e^{k_2t}dt+C)=e^{-k_2t}(\int k_1c_{A0}e^{(k_2 - k_1)t}dt+C)$
  当$k_1\neq k_2$时，$\int k_1c_{A0}e^{(k_2 - k_1)t}dt=\frac{k_1c_{A0}}{k_2 - k_1}e^{(k_2 - k_1)t}+C_1$，则：
  $c_{P}=e^{-k_2t}(\frac{k_1c_{A0}}{k_2 - k_1}e^{(k_2 - k_1)t}+C)=\frac{k_1c_{A0}}{k_2 - k_1}e^{-k_1t}+Ce^{-k_2t}$
  根据初始条件$t = 0$时，$c_{P}=0$，可得$0=\frac{k_1c_{A0}}{k_2 - k_1}+C$，解得$C=-\frac{k_1c_{A0}}{k_2 - k_1}$。
  所以$c_{P}=\frac{k_1c_{A0}}{k_2 - k_1}(e^{-k_1t}-e^{-k_2t})$。
• 步骤三：求$t_{opt}$
  为了求出$c_{P}$的最大值，对$c_{P}$关于$t$求导：
  $\frac{dc_{P}}{dt}=\frac{k_1c_{A0}}{k_2 - k_1}(-k_1e^{-k_1t}+k_2e^{-k_2t})$
  令$\frac{dc_{P}}{dt}=0$，即$\frac{k_1c_{A0}}{k_2 - k_1}(-k_1e^{-k_1t}+k_2e^{-k_2t})=0$，因为$k_1\neq0$，$c_{A0}\neq0$，$k_2 - k_1\neq0$，所以$-k_1e^{-k_1t}+k_2e^{-k_2t}=0$，移项可得：
  $k_1e^{-k_1t}=k_2e^{-k_2t}$
  两边同时取自然对数得：
  $\ln k_1 - k_1t = \ln k_2 - k_2t$
  移项可得：
  $k_2t - k_1t = \ln k_2 - \ln k_1$
  根据对数运算法则$\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$可得：
  $(k_2 - k_1)t = \ln\frac{k_2}{k_1}$
  则$t_{opt}=\frac{\ln(k_1/k_2)}{k_1 - k_2}$。