题目
13.6 一均匀带电细杆,长 =15.0cm, 线电荷密度 lambda =2.0times (10)^-7C/m, 求:-|||-(1)细杆延长线上与杆的一端相距 a=5.0cm 处的电势;-|||-(2)细杆中垂线上与细杆相距 b=5.0cm 处的电势。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电势计算公式
细杆上电荷产生的电势可以通过积分计算，公式为：$\varphi = \int \frac{\lambda dx}{4\pi \varepsilon_0 r}$，其中 $\lambda$ 是线电荷密度，$r$ 是电荷到计算点的距离，$\varepsilon_0$ 是真空介电常数。
步骤 2：计算细杆延长线上与杆的一端相距 a=5.0cm 处的电势
沿杆取x轴，杆的x轴反向端点取作原点，由电势叠加原理，可得所给点的电势为：$\varphi_1 = \int_{0}^{l} \frac{\lambda dx}{4\pi \varepsilon_0 (l+a-x)} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \ln \frac{a+l}{a}$。代入数值计算：$\varphi_1 = 9 \times 10^9 \times 2.0 \times 10^{-7} \times \ln \frac{5.0+15.0}{5.0} = 2.5 \times 10^3 (V)$。
步骤 3：计算细杆中垂线上与细杆相距 b=5.0cm 处的电势
利用习题13.5的结果，可得：$\varphi_2 = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \ln \frac{\sqrt{b^2 + l^2/4} + l/2}{\sqrt{b^2 + l^2/4} - l/2}$。代入数值计算：$\varphi_2 = 9 \times 10^9 \times 2.0 \times 10^{-7} \times \ln \frac{\sqrt{5^2 + 15^2/4} + 15/2}{\sqrt{5^2 + 15^2/4} - 15/2} = 4.3 \times 10^3 (V)$。
细杆上电荷产生的电势可以通过积分计算，公式为：$\varphi = \int \frac{\lambda dx}{4\pi \varepsilon_0 r}$，其中 $\lambda$ 是线电荷密度，$r$ 是电荷到计算点的距离，$\varepsilon_0$ 是真空介电常数。
步骤 2：计算细杆延长线上与杆的一端相距 a=5.0cm 处的电势
沿杆取x轴，杆的x轴反向端点取作原点，由电势叠加原理，可得所给点的电势为：$\varphi_1 = \int_{0}^{l} \frac{\lambda dx}{4\pi \varepsilon_0 (l+a-x)} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \ln \frac{a+l}{a}$。代入数值计算：$\varphi_1 = 9 \times 10^9 \times 2.0 \times 10^{-7} \times \ln \frac{5.0+15.0}{5.0} = 2.5 \times 10^3 (V)$。
步骤 3：计算细杆中垂线上与细杆相距 b=5.0cm 处的电势
利用习题13.5的结果，可得：$\varphi_2 = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \ln \frac{\sqrt{b^2 + l^2/4} + l/2}{\sqrt{b^2 + l^2/4} - l/2}$。代入数值计算：$\varphi_2 = 9 \times 10^9 \times 2.0 \times 10^{-7} \times \ln \frac{\sqrt{5^2 + 15^2/4} + 15/2}{\sqrt{5^2 + 15^2/4} - 15/2} = 4.3 \times 10^3 (V)$。