题目
一个人扔石头的最大出手速率v=25m/s，他能把石头扔过与他的水平距离L=50m，高h=13m的一座墙吗？在这个距离内他能把石头扔过墙的最高高度是多少？
一个人扔石头的最大出手速率v=25m/s，他能把石头扔过与他的水平距离L=50m，高h=13m的一座墙吗？在这个距离内他能把石头扔过墙的最高高度是多少？
题目解答
答案
解：石头做斜抛运动，设其速度方向与水平面的倾角为θ，根据运动分解得：
x=vtcosθ，
$y=vtsinθ-\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
消去t得：$y=xtanθ-\frac{g}{2{v}^{2}}（1+ta{n}^{2}θ）{x}^{2}$，
将x=L=50m，v=25m/s代入，有
$y=50tanθ-\frac{g}{2×2{5}^{2}}（1+ta{n}^{2}θ）×5{0}^{2}$
=$-20（tanθ-\frac{5}{4}）^{2}+11.25$，
将tan$θ=\frac{5}{4}$时，y有最大值，即hm=ym=11.25m，
所以人不能把石头扔过高h=13m高的墙，在这个距离内他能把石头扔过墙的最高高度是11.25m。
答：人不能把石头扔过高h=13m高的墙，在这个距离内他能把石头扔过墙的最高高度是11.25m。
x=vtcosθ，
$y=vtsinθ-\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
消去t得：$y=xtanθ-\frac{g}{2{v}^{2}}（1+ta{n}^{2}θ）{x}^{2}$，
将x=L=50m，v=25m/s代入，有
$y=50tanθ-\frac{g}{2×2{5}^{2}}（1+ta{n}^{2}θ）×5{0}^{2}$
=$-20（tanθ-\frac{5}{4}）^{2}+11.25$，
将tan$θ=\frac{5}{4}$时，y有最大值，即hm=ym=11.25m，
所以人不能把石头扔过高h=13m高的墙，在这个距离内他能把石头扔过墙的最高高度是11.25m。
答：人不能把石头扔过高h=13m高的墙，在这个距离内他能把石头扔过墙的最高高度是11.25m。
解析
步骤 1：确定石头的运动方程
石头做斜抛运动，设其速度方向与水平面的倾角为θ，根据运动分解得：
- 水平方向：$x=vt\cos\theta$
- 竖直方向：$y=vt\sin\theta-\frac{1}{2}g{t}^{2}$
步骤 2：消去时间t
将水平方向的方程解出t，代入竖直方向的方程，消去t，得到y关于x的方程：
$y=xtan\theta-\frac{g}{2{v}^{2}}（1+ta{n}^{2}θ）{x}^{2}$
步骤 3：代入已知条件
将x=L=50m，v=25m/s代入，有
$y=50tanθ-\frac{g}{2×2{5}^{2}}（1+ta{n}^{2}θ）×5{0}^{2}$
=$-20（tanθ-\frac{5}{4}）^{2}+11.25$
步骤 4：求解最大高度
将tan$θ=\frac{5}{4}$时，y有最大值，即h_m=y_m=11.25m
步骤 5：判断是否能扔过墙
比较h_m与h=13m，判断是否能扔过墙
石头做斜抛运动，设其速度方向与水平面的倾角为θ，根据运动分解得：
- 水平方向：$x=vt\cos\theta$
- 竖直方向：$y=vt\sin\theta-\frac{1}{2}g{t}^{2}$
步骤 2：消去时间t
将水平方向的方程解出t，代入竖直方向的方程，消去t，得到y关于x的方程：
$y=xtan\theta-\frac{g}{2{v}^{2}}（1+ta{n}^{2}θ）{x}^{2}$
步骤 3：代入已知条件
将x=L=50m，v=25m/s代入，有
$y=50tanθ-\frac{g}{2×2{5}^{2}}（1+ta{n}^{2}θ）×5{0}^{2}$
=$-20（tanθ-\frac{5}{4}）^{2}+11.25$
步骤 4：求解最大高度
将tan$θ=\frac{5}{4}$时，y有最大值，即h_m=y_m=11.25m
步骤 5：判断是否能扔过墙
比较h_m与h=13m，判断是否能扔过墙