题目
一细玻璃棒被弯成 半径 R 的半圆环，环的上半部均匀带负电荷， 下半部均匀得正电荷， 电荷的线密度分别为 -。和+。， 求 圆心 O 点的电场强度 E 和电势 U
一细玻璃棒被弯成 半径 R 的半圆环，环的上半部均匀带负电荷， 下半部均匀得正电荷， 电荷的线密度分别为 -
和+， 求 圆心 O 点的电场强度 E 和电势 U
题目解答
答案
解：由对称性可知，电势叠加后O点的电势应为零
圆环上某个电荷元所产生的场强为：
正电荷在O点产生的场强竖直分量（仅计算绝对值）为：
则场强大小为：
故O点场强大小为
,方向竖直向上
O点电势为零
解析
步骤 1：确定电荷分布和对称性
细玻璃棒被弯成半径为 R 的半圆环，上半部均匀带负电荷，下半部均匀带正电荷，电荷的线密度分别为 -λ 和 +λ。由于电荷分布具有对称性，可以推断出圆心 O 点的电势为零。
步骤 2：计算电场强度
圆环上某个电荷元所产生的场强为：${I}_{正}=k\dfrac {dq}{{R}^{2}}=k\dfrac {λ}{R}Rd\theta $，其中 k 是库仑常数，dq 是电荷元，λ 是电荷线密度，R 是半圆环的半径，dθ 是电荷元对应的圆心角。
正电荷在O点产生的场强竖直分量（仅计算绝对值）为：$E_{正}={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {kλd\theta }{R}\cos \theta =\dfrac {kλ}{R}{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\cos \theta d\theta =\dfrac {kλ}{R}$
负电荷在O点产生的场强竖直分量（仅计算绝对值）为：$E_{负}={\int }_{\dfrac {\pi }{2}}^{\pi }\dfrac {kλd\theta }{R}\cos \theta =\dfrac {kλ}{R}{\int }_{\dfrac {\pi }{2}}^{\pi }\cos \theta d\theta =\dfrac {kλ}{R}$
由于正负电荷产生的场强方向相反，但大小相等，因此O点的电场强度为：$E=E_{正}+E_{负}=\dfrac {kλ}{R}+\dfrac {kλ}{R}=\dfrac {2kλ}{R}$，方向竖直向上。
步骤 3：计算电势
由于电荷分布具有对称性，可以推断出圆心 O 点的电势为零。
细玻璃棒被弯成半径为 R 的半圆环，上半部均匀带负电荷，下半部均匀带正电荷，电荷的线密度分别为 -λ 和 +λ。由于电荷分布具有对称性，可以推断出圆心 O 点的电势为零。
步骤 2：计算电场强度
圆环上某个电荷元所产生的场强为：${I}_{正}=k\dfrac {dq}{{R}^{2}}=k\dfrac {λ}{R}Rd\theta $，其中 k 是库仑常数，dq 是电荷元，λ 是电荷线密度，R 是半圆环的半径，dθ 是电荷元对应的圆心角。
正电荷在O点产生的场强竖直分量（仅计算绝对值）为：$E_{正}={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {kλd\theta }{R}\cos \theta =\dfrac {kλ}{R}{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\cos \theta d\theta =\dfrac {kλ}{R}$
负电荷在O点产生的场强竖直分量（仅计算绝对值）为：$E_{负}={\int }_{\dfrac {\pi }{2}}^{\pi }\dfrac {kλd\theta }{R}\cos \theta =\dfrac {kλ}{R}{\int }_{\dfrac {\pi }{2}}^{\pi }\cos \theta d\theta =\dfrac {kλ}{R}$
由于正负电荷产生的场强方向相反，但大小相等，因此O点的电场强度为：$E=E_{正}+E_{负}=\dfrac {kλ}{R}+\dfrac {kλ}{R}=\dfrac {2kλ}{R}$，方向竖直向上。
步骤 3：计算电势
由于电荷分布具有对称性，可以推断出圆心 O 点的电势为零。