精馏分离由苯(B)、甲苯(T)、二甲苯(X)和异丙苯(C)组成的芳烃混合物。进料量为 100 ( mol/h)，进料组成为 z_B = 0.20，z_T = 0.40，z_X = 0.10，z_C = 0.30。塔顶使用全凝器，饱和液体回流。以甲苯为基准时，各组分间相对挥发度为：alpha_(B,T) = 2.25，alpha_(T,T) = 1.0，alpha_(X,T) = 0.33，alpha_(C,T) = 0.21。要求：釜液中异丙苯回收率为 99.5%，馏出液中甲苯回收率为 99.7%。求：(1) 最少理论板数 N_m；(2) 各组分在塔顶和塔釜产品中的分配。

本题主要考察精馏塔的设计计算，包括最少理论板数的计算以及各组分在塔顶和塔釜产品中的分配计算。解题思路如下：

1. 计算各组分在塔顶和塔釜的流量：
   • 根据进料量和进料组成，以及给定的回收率要求，分别计算各组分在塔顶和塔釜的流量。
   • 对于异丙苯，已知釜液中异丙苯回收率为 $99.5\%$，可据此计算 $W_C$ 和 $D_C$。
   • 对于甲苯，已知馏出液中甲苯回收率为 $99.7\%$，可据此计算 $D_T$ 和 $W_T$。
   • 对于苯和二甲苯，根据物料衡算计算 $D_B$、$W_B$、$D_X$ 和 $W_X$。
2. 计算最少理论板数 $N_m$：
   • 首先计算以甲苯为基准时，甲苯和异丙苯的相对挥发度 $\alpha_{T,C}$。
   • 然后根据 Fenske 方程计算最少理论板数 $N_m$。

具体计算过程

1. 计算各组分在塔顶和塔釜的流量：
   • 进料量 $F = 100 \text{ mol/h}$，进料组成 $z_B = 0.20$，$z_T = 0.40$，$z_X = 0.10$，$z_C = 0.30$。
   • 对于异丙苯：
     • 因为釜液中异丙苯回收率为 $99.5\%$，所以 $W_C = 0.995 \times F \times z_C = 0.995 \times 100 \times 0.30 = 29.85 \text{ mol/h}$。
     • 根据物料衡算 $F \times z_C = D_C + W_C$，可得 $D_C = F \times z_C - W_C = 100 \times 0.30 - 29.85 = 0.15 \text{ mol/h}$。
   • 对于甲苯：
     • 因为馏出液中甲苯回收率为 $99.7\%$，所以 $D_T = 0.997 \times F \times z_T = 0.997 \times 100 \times 0.40 = 39.88 \text{ mol/h}$。
     • 根据物料衡算 $F \times z_T = D_T + W_T$，可得 $W_T = F \times z_T - D_T = 100 \times 0.40 - 39.88 = 0.12 \text{ mol/h}$。
   • 对于苯：
     • 根据物料衡算 $F \times z_B = D_B + W_B$，且塔顶和塔釜中苯的分配可近似认为与进料组成成比例，所以 $D_B = 0.20 \times (D_T + D_X + D_C) \approx 19.9 \text{ mol/h}$，$W_B = F \times z_B - D_B = 100 \times 0.20 - 19.9 = 0.1 \text{ mol/h}$。
   • 对于二甲苯：
     • 根据物料衡算 $F \times z_X = D_X + W_X$，且塔顶和塔釜中二甲苯的分配可近似认为与进料组成成比例，所以 $D_X = 0.10 \times (D_T + D_X + D_C) \approx 0.1 \text{ mol/h}$，$W_X = F \times z_X - D_X = 100 \times 0.10 - 0.1 = 9.9 \text{ mol/h}$。
2. 计算最少理论板数 $N_m$：
   • 计算以甲苯为基准时，甲苯和异丙苯的相对挥发度 $\alpha_{T,C}$：
     • 已知 $\alpha_{T,T} = 1.0$，$\alpha_{C,T} = 0.21$，则 $\alpha_{T,C} = \frac{\alpha_{T,T}}{\alpha_{C,T}} = \frac{1.0}{0.21} \approx 4.76$。
   • 计算 $\frac{D_T}{W_T}$ 和 $\frac{D_C}{W_C}$：
     • $\frac{D_T}{W_T} = \frac{39.88}{0.12} \approx 332.33$。
     • $\frac{D_C}{W_C} = \frac{0.15}{29.85} \approx 0.005$。
   • 根据 Fenske 方程 $N_m = \frac{\log \left[ \left( \frac{D_T}{W_T} \right) \left( \frac{D_C}{W_C} \right) \right]}{\log \alpha_{T,C}}$，可得：
     • $N_m = \frac{\log (332.33 \times 0.005 \times 2)}{\log 4.76} = \frac{\log (66466.67)}{\log 4.76} \approx 7$。