练习1：罐径比与体积计算题目：某生物药厂的中试发酵罐内径（D_1）为 1.2(m)，罐高（H_1）为 2.4(m)，有效体积（V_1）为 2.5(m)^3（约 2500(L)）。现需按“几何相似原则”（罐径比 H/D 不变）设计大生产发酵罐，要求大生产罐有效体积（V_2）为 25(m)^3（约 25000(L)），计算：（1）大生产罐的内径（D_2）与罐高（H_2）；（2）中试罐与大生产罐的体积比、内径比、罐高比。（保留3位小数）练习2：湍流区搅拌功率计算题目：某中试发酵罐（有效体积 V=5(m)^3）采用六直叶涡轮桨，已知搅拌桨直径 d=0.6(m)，发酵液密度 rho=1050(kg/m)^3（近似水的密度，含少量培养基固形物），液体黏度 mu=0.002(Pa)cdot(s)（常温下近似值），搅拌转速 n=200(r/min)。若搅拌雷诺数 (Re)>10^4（湍流区），搅拌功率系数 (Np)=6.0（六直叶涡轮桨湍流区典型值），计算该发酵罐的搅拌功率 P（单位：(kW)）。练习3：搅拌功率 / 体积比（(P/V)）计算与放大题目：某青霉素发酵的中试罐（V_1=10(m)^3）搅拌功率 P_1=25(kW)，现需按“(P/V)相似原则”放大至大生产罐（V_2=100(m)^3），计算：（1）中试罐的搅拌功率 / 体积比（P_1/V_1）；（2）大生产罐需匹配的搅拌功率（P_2）；（3）若大生产罐实际搅拌功率为 220(kW)，判断是否满足相似性要求（允许误差 pm5%）。

本题主要考查了发酵罐相关的几何相似原则、搅拌功率计算以及搅拌功率/体积比相似原则的应用。下面将对每个练习进行详细分析和解答。

练习1：罐径比与体积计算

本题考查几何相似原则下发酵罐参数的计算。解题思路是先根据几何相似原则得出罐径比不变，再利用体积比与内径比的关系求出内径比，进而求出大生产罐的内径和罐高，最后计算体积比、内径比和罐高比。

1. 计算罐径比：
   已知中试发酵罐内径$D_1 = 1.2m$，罐高$H_1 = 2.4m$，则罐径比$\frac{H_1}{D_1}=\frac{2.4}{1.2}=2$。
   因为按“几何相似原则”设计大生产发酵罐，所以大生产罐的罐径比$\frac{H_2}{D_2}=\frac{H_1}{D_1}=2$。
2. 计算体积比：
   已知中试罐有效体积$V_1 = 2.5m^3$，大生产罐有效体积$V_2 = 25m^3$，则体积比$\frac{V_2}{V_1}=\frac{25}{2.5}=10$。
3. 计算内径比：
   对于圆柱形容器，体积公式为$V = \frac{\pi}{4}D^2H$。
   因为$\frac{H_2}{D_2}=\frac{H_1}{D_1}$，所以$\frac{V_2}{V_1}=\frac{\frac{\pi}{4}D_2^2H_2}{\frac{\pi}{4}D_1^2H_1}=(\frac{D_2}{D_1})^3$。
   则内径比$\frac{D_2}{D_1}=\sqrt[3]{\frac{V_2}{V_1}}=\sqrt[3]{10}\approx2.154$。
4. 计算大生产罐的内径$D_2$和罐高$H_2$：
   由$\frac{D_2}{D_1}\approx2.154$，可得$D_2 = 2.154D_1 = 2.154\times1.2\approx2.585m$。
   又因为$\frac{H_2}{D_2}=2$，所以$H_2 = 2D_2 = 2\times2.585 = 5.170m$。
5. 计算罐高比：
   罐高比$\frac{H_2}{H_1}=\frac{D_2}{D_1}\approx2.154$。

练习2：湍流区搅拌功率计算

本题考查湍流区搅拌功率的计算。解题思路是根据已知的搅拌功率系数、发酵液密度、搅拌转速和搅拌桨直径，代入搅拌功率公式进行计算。
已知搅拌功率公式$P = N_p \rho n^3 d^5$，其中$N_p = 6.0$，$\rho = 1050kg/m^3$，$n = 200r/min=\frac{200}{60}r/s$，$d = 0.6m$。
将数据代入公式可得：
$\begin{align*}P&=6.0\times1050\times(\frac{200}{60})^3\times0.6^5\\&=6.0\times1050\times\frac{8000000}{216000}\times0.07776\\&=6.0\times1050\times\frac{2000}{54}\times0.07776\\&=6.0\times1050\times\frac{1000}{27}\times0.07776\\&=6300\times\frac{1000}{27}\times0.07776\\&=\frac{6300000}{27}\times0.07776\\&=233333.33\times0.07776\\&\approx18100W\\&=18.1kW\end{align*}$

练习3：搅拌功率 / 体积比（$P/V$）计算与放大

本题考查搅拌功率/体积比相似原则下发酵罐搅拌功率的计算和相似性判断。解题思路是先计算中试罐的搅拌功率/体积比，再根据相似原则求出大生产罐需匹配的搅拌功率，最后计算实际功率与匹配功率的误差，判断是否满足相似性要求。

1. 计算中试罐的搅拌功率/体积比$\frac{P_1}{V_1}$：
   已知中试罐搅拌功率$P_1 = 25kW$，体积$V_1 = 10m^3$，则$\frac{P_1}{V_1}=\frac{25}{10}=2.5kW/m^3$。
2. 计算大生产罐需匹配的搅拌功率$P_2$：
   因为按“$P/V$相似原则”放大，所以$\frac{P_2}{V_2}=\frac{P_1}{V_1}$。
   已知大生产罐体积$V_2 = 100m^3$，则$P_2 = \frac{P_1}{V_1}V_2 = 2.5\times100 = 250kW$。
3. 判断大生产罐实际搅拌功率是否满足相似性要求：
   已知大生产罐实际搅拌功率为$220kW$，则误差为$\frac{|220 - 250|}{250}\times100\%=\frac{30}{250}\times100\% = 12\%$。
   因为允许误差为$\pm5\%$，$12\%\gt{}5\%$，所以不满足相似性要求。