题目
用波 长590 nm单色光垂直照射观察牛顿环，看到第k 条明环的直径为3.00 mm，第+5条明环的直径为4.6 mm。求 ( 1 ) 所用平凸透镜的曲率半径R。( 2 ) 第10级明环所在位置的光程差和空气层的厚度。
用波 长590 nm单色光垂直照射观察牛顿环，看到第k 条明环的直径为3.00 mm，第
条明环的直径为4.6 mm。
求 ( 1 ) 所用平凸透镜的曲率半径R。
( 2 ) 第10级明环所在位置的光程差和空气层的厚度。
题目解答
答案
解：首先，根据牛顿环的几何关系，可以得到明环的直径和光程差之间的关系式：
其中，d为明环的直径，Δd为明环之间的直径差，k为明环的级数，λ为光的波长，R为透镜的曲率半径。
现在我们已知
，
，
，
。我们要求R、Δd和光程差Δl。
(1) 求R：
根据第一个关系式，我们可以解出R：
代入已知数据计算得到：
所以所用平凸透镜的曲率半径R约等于2.03 m。
(2) 求第10级明环的光程差和空气层厚度：
根据第二个关系式，我们可以求解Δd：
代入已知数据计算得到：
根据几何关系，我们可以得到光程差Δl与Δd之间的关系：
代入已知数据计算得到：
空气层的厚度等于光程差Δl。
所以第10级明环所在位置的光程差约等于0.1976 mm，空气层的厚度也约等于0.1976 mm。
解析
步骤 1：确定牛顿环的直径与光程差的关系
牛顿环的直径与光程差的关系式为：$d_k^2 = 4(k + \frac{1}{2})\lambda R$，其中$d_k$为第k条明环的直径，$\lambda$为光的波长，R为透镜的曲率半径。
步骤 2：求解透镜的曲率半径R
根据题目给出的数据，第k条明环的直径为3.00 mm，第k+5条明环的直径为4.6 mm，波长为590 nm。将这些数据代入关系式，可以得到两个方程：
$d_k^2 = 4(k + \frac{1}{2})\lambda R$
$d_{k+5}^2 = 4(k + 5 + \frac{1}{2})\lambda R$
将已知数据代入，得到：
$3.00^2 = 4(k + \frac{1}{2})\times 590 \times 10^{-9} \times R$
$4.6^2 = 4(k + 5 + \frac{1}{2})\times 590 \times 10^{-9} \times R$
解这两个方程，可以得到透镜的曲率半径R。
步骤 3：求解第10级明环的光程差和空气层的厚度
根据牛顿环的光程差公式，第k条明环的光程差为：$\Delta l_k = (k + \frac{1}{2})\lambda$。将k=10代入，可以得到第10级明环的光程差。空气层的厚度等于光程差。
牛顿环的直径与光程差的关系式为：$d_k^2 = 4(k + \frac{1}{2})\lambda R$，其中$d_k$为第k条明环的直径，$\lambda$为光的波长，R为透镜的曲率半径。
步骤 2：求解透镜的曲率半径R
根据题目给出的数据，第k条明环的直径为3.00 mm，第k+5条明环的直径为4.6 mm，波长为590 nm。将这些数据代入关系式，可以得到两个方程：
$d_k^2 = 4(k + \frac{1}{2})\lambda R$
$d_{k+5}^2 = 4(k + 5 + \frac{1}{2})\lambda R$
将已知数据代入，得到：
$3.00^2 = 4(k + \frac{1}{2})\times 590 \times 10^{-9} \times R$
$4.6^2 = 4(k + 5 + \frac{1}{2})\times 590 \times 10^{-9} \times R$
解这两个方程，可以得到透镜的曲率半径R。
步骤 3：求解第10级明环的光程差和空气层的厚度
根据牛顿环的光程差公式，第k条明环的光程差为：$\Delta l_k = (k + \frac{1}{2})\lambda$。将k=10代入，可以得到第10级明环的光程差。空气层的厚度等于光程差。