如图所示,一质点自光滑球面的顶点处静止下滑,设球面半径为R,在垂直方向质点落下-|||-距离h多大时开始脱离球面。-|||-R

考查要点：本题主要考查机械能守恒定律和圆周运动中的向心力分析，需要结合几何关系建立方程。

解题核心思路：

1. 脱离条件：质点脱离球面时，球面对质点的弹力为零，此时向心力完全由重力的径向分量提供。
2. 机械能守恒：质点下滑过程中只有重力做功，动能由重力势能转化而来。
3. 几何关系：通过球面的几何形状，将垂直下落距离$h$与角度$\theta$关联。

破题关键点：

• 确定脱离点的受力：弹力为零时，$mg\cos\theta = \frac{mv^2}{R}$。
• 能量关系：$\frac{1}{2}mv^2 = mgR(1-\cos\theta)$。
• 几何转化：$h = R(1-\cos\theta)$。

步骤1：分析脱离条件

质点脱离球面时，弹力$N=0$，向心力由重力的径向分量提供：
$mg\cos\theta = \frac{mv^2}{R}$

步骤2：应用机械能守恒

质点从顶点下滑到脱离点，机械能守恒：
$\frac{1}{2}mv^2 = mgR(1-\cos\theta)$

步骤3：联立方程求角度$\theta$

将$v^2 = 2gR(1-\cos\theta)$代入向心力方程：
$mg\cos\theta = \frac{m \cdot 2gR(1-\cos\theta)}{R}$
化简得：
$\cos\theta = 2(1-\cos\theta) \quad \Rightarrow \quad \cos\theta = \frac{2}{3}$

步骤4：几何关系求$h$

垂直下落距离$h$与$\cos\theta$的关系为：
$h = R(1-\cos\theta) = R\left(1-\frac{2}{3}\right) = \frac{R}{3}$