题目
质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如图所示。质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度。m-|||-M
质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如图所示。质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度。
题目解答
答案
m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m、M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有
$$mgR=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}mv^2$$
又下滑过程，动量守恒，以m、M为系统，则在m脱离M瞬间，水平方向有
$$mv-MV=0$$
联立以上两式，得$$v=\sqrt{\frac{2MgR}{m+M}}$$
解析
考查要点：本题主要考查机械能守恒和动量守恒的综合应用，涉及相对运动中的能量转化和系统动量关系。
解题核心思路：
- 机械能守恒：由于系统内无摩擦且水平面光滑，总机械能守恒。小立方体下滑时重力势能转化为两物体的动能。
- 动量守恒：系统初始静止，总动量为零，分离瞬间水平方向动量仍守恒，两物体速度大小与质量成反比。
破题关键点：
- 正确选取参考系，明确分离瞬间两物体的速度方向均为水平。
- 联立机械能守恒和动量守恒方程，消去中间变量（大木块速度），求解小立方体速度。
机械能守恒分析
小立方体下滑至最低点时，重力势能减少量为 $mgR$，转化为两物体的动能：
$mgR = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2$
动量守恒分析
系统初始静止，分离瞬间水平方向动量守恒：
$mv - MV = 0 \quad \Rightarrow \quad V = \frac{mv}{M}$
联立方程求解
将 $V = \frac{mv}{M}$ 代入机械能守恒方程：
$mgR = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}M\left(\frac{mv}{M}\right)^2$
化简得：
$mgR = \frac{1}{2}mv^2 \left(1 + \frac{m}{M}\right) \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{2MgR}{m+M}}$