题目
质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如图所示。质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度。m-|||-M
质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如图所示。质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度。
题目解答
答案
m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m、M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有
$$mgR=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}mv^2$$
又下滑过程，动量守恒，以m、M为系统，则在m脱离M瞬间，水平方向有
$$mv-MV=0$$
联立以上两式，得$$v=\sqrt{\frac{2MgR}{m+M}}$$
解析
步骤 1：机械能守恒
小立方体从曲面的顶端滑下，过程中机械能守恒。以小立方体、大木块和地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有：
$$mgR = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2$$
其中，$v$ 是小立方体脱离大木块时的速度，$V$ 是大木块的速度。
步骤 2：动量守恒
小立方体从曲面的顶端滑下，过程中水平方向动量守恒。以小立方体和大木块为系统，则在小立方体脱离大木块瞬间，水平方向有：
$$mv - MV = 0$$
即：
$$mv = MV$$
步骤 3：联立求解
联立以上两式，消去 $V$，得：
$$mgR = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}m\left(\frac{mv}{M}\right)^2$$
化简得：
$$mgR = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}m\frac{m^2v^2}{M^2}$$
$$mgR = \frac{1}{2}mv^2\left(1 + \frac{m}{M}\right)$$
$$v^2 = \frac{2gR}{1 + \frac{m}{M}}$$
$$v = \sqrt{\frac{2gR}{1 + \frac{m}{M}}}$$
$$v = \sqrt{\frac{2gR}{\frac{M + m}{M}}}$$
$$v = \sqrt{\frac{2gRM}{M + m}}$$
小立方体从曲面的顶端滑下，过程中机械能守恒。以小立方体、大木块和地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有：
$$mgR = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2$$
其中，$v$ 是小立方体脱离大木块时的速度，$V$ 是大木块的速度。
步骤 2：动量守恒
小立方体从曲面的顶端滑下，过程中水平方向动量守恒。以小立方体和大木块为系统，则在小立方体脱离大木块瞬间，水平方向有：
$$mv - MV = 0$$
即：
$$mv = MV$$
步骤 3：联立求解
联立以上两式，消去 $V$，得：
$$mgR = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}m\left(\frac{mv}{M}\right)^2$$
化简得：
$$mgR = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}m\frac{m^2v^2}{M^2}$$
$$mgR = \frac{1}{2}mv^2\left(1 + \frac{m}{M}\right)$$
$$v^2 = \frac{2gR}{1 + \frac{m}{M}}$$
$$v = \sqrt{\frac{2gR}{1 + \frac{m}{M}}}$$
$$v = \sqrt{\frac{2gR}{\frac{M + m}{M}}}$$
$$v = \sqrt{\frac{2gRM}{M + m}}$$