已知受力物体内一点的应力张量为 50 80-|||-_(n)= 50 0 -75-|||-80 -75 -30 (MPa),试求外法线方向余弦为l=m=1/2,n= 50 80-|||-_(n)= 50 0 -75-|||-80 -75 -30的斜切面上的全应力、正应力和切应力。

考查要点：本题主要考查应力张量在指定斜切面上的全应力、正应力和切应力的计算，涉及方向余弦的应用和向量运算。

解题核心思路：

1. 全应力的计算：利用应力张量与方向余弦的点积，分别求出全应力在三个坐标轴方向的分量。
2. 正应力的计算：将全应力向量与方向余弦向量点积，得到法线方向的正应力。
3. 切应力的计算：通过勾股定理，用全应力的模长平方减去正应力的平方后开方。

破题关键点：

• 方向余弦的验证：确保方向余弦满足$l^2 + m^2 + n^2 = 1$。
• 分步代入公式：严格按照公式分步计算，避免符号错误。

1. 计算全应力分量$S_x, S_y, S_z$

根据公式：
$S_i = \sigma_{ij} l_j$
代入方向余弦$l=1/2, m=1/2, n=1/\sqrt{2}$：

• $S_x$：
  $S_x = 50 \cdot \frac{1}{2} + 50 \cdot \frac{1}{2} + 80 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 25 + 25 + 56.568 \approx 106.6 \, \text{MPa}$
• $S_y$：
  $S_y = 50 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} + (-75) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 25 - 53.033 \approx -28.0 \, \text{MPa}$
• $S_z$：
  $S_z = 80 \cdot \frac{1}{2} + (-75) \cdot \frac{1}{2} + (-30) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 40 - 37.5 - 21.213 \approx -18.7 \, \text{MPa}$

2. 计算正应力$\sigma$

正应力为全应力与方向余弦的点积：
$\sigma = S_i l_i = S_x l + S_y m + S_z n$
代入数值：
$\sigma = 106.6 \cdot \frac{1}{2} + (-28.0) \cdot \frac{1}{2} + (-18.7) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 53.3 - 14 - 13.23 \approx 26.1 \, \text{MPa}$

3. 计算全应力模长$S$

$S = \sqrt{S_x^2 + S_y^2 + S_z^2} = \sqrt{106.6^2 + (-28.0)^2 + (-18.7)^2} \approx 111.79 \, \text{MPa}$

4. 计算切应力$t$

$t = \sqrt{S^2 - \sigma^2} = \sqrt{111.79^2 - 26.1^2} \approx 108.7 \, \text{MPa}$