1-32 一质点作半径为0.1m的圆周运动,其运-|||-动方程为 =2+4(t)^3 (SI单位),试问:-|||-(1) t=2s 时,法向加速度和切向加速度各是多少?-|||-(2)当θ角等于多少时,速度与加速度方向夹角-|||-为45°?

考查要点：本题主要考查圆周运动中角速度、角加速度与线加速度的关系，以及速度与加速度方向夹角的条件。

解题核心思路：

1. 确定运动方程：题目中给出的运动方程应为角位移θ随时间变化的函数，即θ=2+4t³（可能存在笔误，需结合物理意义修正）。
2. 求导数：通过求导得到角速度ω和角加速度α。
3. 计算加速度分量：切向加速度由角加速度与半径的乘积得到，法向加速度由角速度平方与半径的乘积得到。
4. 夹角条件：当速度与加速度方向夹角为45°时，切向加速度与法向加速度大小相等，据此建立方程求解θ。

破题关键点：

• 正确修正运动方程：将y修正为θ，确保物理量的合理性。
• 导数计算：准确求导得到ω和α。
• 加速度分量关系：利用几何关系建立切向加速度与法向加速度的等式。

第（1）题

求角速度和角加速度

运动方程为θ=2+4t³，对时间求导得：
$\omega = \frac{dθ}{dt} = 12t^2 \\ α = \frac{dω}{dt} = 24t$

计算切向加速度

切向加速度为：
$a_t = α \cdot r = 24t \cdot 0.1 = 2.4t$
当t=2s时：
$a_t = 2.4 \cdot 2 = 4.8 \, \text{m/s}^2$

计算法向加速度

法向加速度为：
$a_n = \omega^2 \cdot r = (12t^2)^2 \cdot 0.1 = 14.4t^4$
当t=2s时：
$a_n = 14.4 \cdot 2^4 = 230.4 \, \text{m/s}^2$

第（2）题

建立夹角条件

当速度与加速度方向夹角为45°时，切向加速度与法向加速度大小相等：
$a_t = a_n$

代入表达式并求解

$2.4t = 14.4t^4 \\ t^3 = \frac{2.4}{14.4} = \frac{1}{6} \\ t = \left( \frac{1}{6} \right)^{1/3}$

求θ值

将t代入运动方程：
$θ = 2 + 4t^3 = 2 + 4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{8}{3} \, \text{弧度}$