题目
习题 3-3 图表示两个同方向、同频率的简谐振动曲线,其频率为w,分别求出(a)和-|||-(b)情形时:(1)合振动振幅;(2)合振动的振动方程。-|||-x4-|||-A2-|||-A1 x1(t)-|||-O 7-|||-2(t)-|||-(a)-|||-x^4-|||-A2 x2(t)-|||-A1-|||-O-|||-x1(t)-|||-(b)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定两个简谐振动的相位差
对于(a)情形，从图中可以看出，${\varphi }_{2}-{\varphi }_{1}=\pi $，即两个振动的相位差为$\pi$。
对于(b)情形，从图中可以看出，${\varphi }_{2}-{\varphi }_{1}=-\dfrac {\pi }{2}$，即两个振动的相位差为$-\dfrac {\pi }{2}$。
步骤 2：计算合振动的振幅
对于(a)情形，由于两个振动的相位差为$\pi$，所以它们的振幅相减，即$A=|{A}_{2}-{A}_{1}|$。
对于(b)情形，由于两个振动的相位差为$-\dfrac {\pi }{2}$，所以它们的振幅相加，即$A=\sqrt {{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}}$。
步骤 3：确定合振动的初相位
对于(a)情形，由于${A}_{2}\gt {A}_{1}$，所以合振动的初相位为$\dfrac {\pi }{2}$。
对于(b)情形，合振动的初相位为$\arctan \dfrac {{A}_{1}}{{A}_{2}}$。
步骤 4：写出合振动的振动方程
对于(a)情形，合振动的振动方程为$x=|{A}_{2}-{A}_{1}|\cos (\omega t+\dfrac {\pi }{2})$。
对于(b)情形，合振动的振动方程为$x=\sqrt {{{A}_{1}}^{2}+{A}_{2}^{2}}\cos (\omega t+\arctan \dfrac {{A}_{1}}{{A}_{2}})$。
对于(a)情形，从图中可以看出，${\varphi }_{2}-{\varphi }_{1}=\pi $，即两个振动的相位差为$\pi$。
对于(b)情形，从图中可以看出，${\varphi }_{2}-{\varphi }_{1}=-\dfrac {\pi }{2}$，即两个振动的相位差为$-\dfrac {\pi }{2}$。
步骤 2：计算合振动的振幅
对于(a)情形，由于两个振动的相位差为$\pi$，所以它们的振幅相减，即$A=|{A}_{2}-{A}_{1}|$。
对于(b)情形，由于两个振动的相位差为$-\dfrac {\pi }{2}$，所以它们的振幅相加，即$A=\sqrt {{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}}$。
步骤 3：确定合振动的初相位
对于(a)情形，由于${A}_{2}\gt {A}_{1}$，所以合振动的初相位为$\dfrac {\pi }{2}$。
对于(b)情形，合振动的初相位为$\arctan \dfrac {{A}_{1}}{{A}_{2}}$。
步骤 4：写出合振动的振动方程
对于(a)情形，合振动的振动方程为$x=|{A}_{2}-{A}_{1}|\cos (\omega t+\dfrac {\pi }{2})$。
对于(b)情形，合振动的振动方程为$x=\sqrt {{{A}_{1}}^{2}+{A}_{2}^{2}}\cos (\omega t+\arctan \dfrac {{A}_{1}}{{A}_{2}})$。