题目
如图所示，一均匀细杆长为L，质量为M，可绕过一端点的轴O在竖直面自由转动，将杆拉到水平位置而静止释放，当它落到铅直位置时，与一质量为m的物体发生完全非弹性碰撞，碰撞后的瞬间m的速度为 ，其相对于O点的角动量为 。M,L-|||-m-|||-7777777777777777777
如图所示，一均匀细杆长为L，质量为M，可绕过一端点的轴O在竖直面自由转动，将杆拉到水平位置而静止释放，当它落到铅直位置时，与一质量为m的物体发生完全非弹性碰撞，碰撞后的瞬间m的速度为 ，其相对于O点的角动量为 。
题目解答
答案
$${M\sqrt{3gl} }\over{M+3m} $$, $${mML\sqrt{3gl} }\over{M+3m} $$
解析
步骤 1：计算杆下落到铅直位置时的速度
杆从水平位置下落到铅直位置，可以利用机械能守恒定律。杆的初始势能全部转化为动能。设杆的质心下降的高度为h，则h = L/2。杆的转动惯量为I = (1/3)ML^2。根据机械能守恒定律，有：
$$Mgh = {1\over2}I\omega^2$$
其中，ω为杆下落到铅直位置时的角速度。将h和I代入上式，得到：
$$Mg{L\over2} = {1\over2}({1\over3}ML^2)\omega^2$$
解得：
$$\omega = \sqrt{3g\over L}$$
步骤 2：计算碰撞后的瞬间m的速度
杆与质量为m的物体发生完全非弹性碰撞，碰撞后杆和物体一起运动。根据角动量守恒定律，有：
$$I\omega = (I + mL^2)v$$
其中，v为碰撞后的瞬间m的速度。将I和ω代入上式，得到：
$$({1\over3}ML^2)\sqrt{3g\over L} = ({1\over3}ML^2 + mL^2)v$$
解得：
$$v = {M\sqrt{3g\over L} }\over{M+3m}$$
步骤 3：计算碰撞后的瞬间m相对于O点的角动量
碰撞后的瞬间m相对于O点的角动量为：
$$L = mvL$$
将v代入上式，得到：
$$L = {mML\sqrt{3g\over L} }\over{M+3m}$$
杆从水平位置下落到铅直位置，可以利用机械能守恒定律。杆的初始势能全部转化为动能。设杆的质心下降的高度为h，则h = L/2。杆的转动惯量为I = (1/3)ML^2。根据机械能守恒定律，有：
$$Mgh = {1\over2}I\omega^2$$
其中，ω为杆下落到铅直位置时的角速度。将h和I代入上式，得到：
$$Mg{L\over2} = {1\over2}({1\over3}ML^2)\omega^2$$
解得：
$$\omega = \sqrt{3g\over L}$$
步骤 2：计算碰撞后的瞬间m的速度
杆与质量为m的物体发生完全非弹性碰撞，碰撞后杆和物体一起运动。根据角动量守恒定律，有：
$$I\omega = (I + mL^2)v$$
其中，v为碰撞后的瞬间m的速度。将I和ω代入上式，得到：
$$({1\over3}ML^2)\sqrt{3g\over L} = ({1\over3}ML^2 + mL^2)v$$
解得：
$$v = {M\sqrt{3g\over L} }\over{M+3m}$$
步骤 3：计算碰撞后的瞬间m相对于O点的角动量
碰撞后的瞬间m相对于O点的角动量为：
$$L = mvL$$
将v代入上式，得到：
$$L = {mML\sqrt{3g\over L} }\over{M+3m}$$