例 6-2 载有电流I的半圆形闭合线圈,半径为R,放在均匀的外磁场B中,B的方向与线圈平面平行,-|||-如图 6-28 所示.(1)求此时线圈所受的力矩大小和方向;(2)求在这力矩作用下,当线圈平面转到与磁场B-|||-垂直的位置时,磁力矩所做的功.-|||-__-|||-R-|||-B-|||-图 6-28

考查要点：本题主要考查载流线圈在均匀磁场中的磁力矩计算及磁力矩做功的分析。
解题思路：

1. 磁力矩公式：利用磁矩与磁场的向量积计算力矩大小，结合右手法则判断方向。
2. 磁力矩做功：通过磁势能的变化或积分法计算转动过程中磁力矩所做的功。
   关键点：

• 磁矩的计算：半圆形线圈的面积为$\frac{1}{2}\pi R^2$，磁矩$P_m = I \cdot S$。
• 角度关系：初始位置线圈平面与磁场平行，对应磁矩与磁场垂直；最终位置线圈平面与磁场垂直，对应磁矩与磁场平行。

第（1）题

磁矩计算

半圆形线圈的面积为$S = \frac{1}{2}\pi R^2$，磁矩为：
$P_m = I \cdot S = I \cdot \frac{1}{2}\pi R^2.$

磁力矩大小

线圈平面与磁场平行时，磁矩方向垂直于平面（向外），与磁场方向夹角$\theta = \frac{\pi}{2}$，磁力矩大小为：
$M = P_mB\sin\theta = \frac{1}{2}\pi R^2 I \cdot B \cdot \sin\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}\pi R^2 I B.$

磁力矩方向

由右手法则，$P_m$方向向外，$B$方向平行于平面（假设水平向右），则$P_m \times B$方向为垂直于$B$向上。

第（2）题

磁势能变化法

初始位置磁势能$U_1 = -P_mB\cos\frac{\pi}{2} = 0$，最终位置磁势能$U_2 = -P_mB\cos0 = -P_mB$。
磁力矩做功为：
$W = -\Delta U = U_2 - U_1 = -P_mB.$
代入$P_m = \frac{1}{2}\pi R^2 I$，得：
$W = \frac{1}{2}\pi R^2 I B.$

积分法验证

磁力矩$M = P_mB\sin\theta$，转动角度$\theta$从$\frac{\pi}{2}$到$0$，做功为：
$W = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} M \, d\theta = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} P_mB\sin\theta \, d\theta = P_mB \left[ -\cos\theta \right]_{\frac{\pi}{2}}^{0} = P_mB.$
结果一致，验证正确。