1-16 质点沿直线运动,加速度 =4-(t)^2, 式中a的单位为 cdot (s)^-2, t的单位-|||-为s.如果当 t=3s 时, =9m, =2mcdot (s)^-1, 求质点的运动方程.

步骤 1：确定速度与时间的关系
根据加速度的定义，加速度 $a$ 是速度 $v$ 对时间 $t$ 的导数，即 $a=\dfrac {dv}{dt}$。因此，我们可以通过积分加速度来得到速度。给定的加速度为 $a=4-{t}^{2}$，所以有
$$
\int_{v_0}^{v} dv = \int_{0}^{t} (4-t^2) dt
$$
步骤 2：计算速度
对上式进行积分，得到速度 $v$ 与时间 $t$ 的关系：
$$
v = 4t - \frac{1}{3}t^3 + v_0
$$
步骤 3：确定位置与时间的关系
速度 $v$ 是位置 $x$ 对时间 $t$ 的导数，即 $v=\dfrac {dx}{dt}$。因此，我们可以通过积分速度来得到位置。给定的速度为 $v=4t-\frac{1}{3}t^3+v_0$，所以有
$$
\int_{x_0}^{x} dx = \int_{0}^{t} (4t - \frac{1}{3}t^3 + v_0) dt
$$
步骤 4：计算位置
对上式进行积分，得到位置 $x$ 与时间 $t$ 的关系：
$$
x = 2t^2 - \frac{1}{12}t^4 + v_0t + x_0
$$
步骤 5：确定初始条件
根据题目给定的条件，当 $t=3s$ 时，$x=9m$，$v=2m\cdot{s}^{-1}$。将这些条件代入步骤 2 和步骤 4 的结果中，可以解出 $v_0$ 和 $x_0$。
$$
2 = 4(3) - \frac{1}{3}(3)^3 + v_0
$$
$$
9 = 2(3)^2 - \frac{1}{12}(3)^4 + v_0(3) + x_0
$$
步骤 6：求解初始条件
解上述方程组，得到 $v_0=-1m\cdot{s}^{-1}$ 和 $x_0=0.75m$。
步骤 7：写出运动方程
将 $v_0$ 和 $x_0$ 的值代入步骤 4 的结果中，得到质点的运动方程：
$$
x = 2t^2 - \frac{1}{12}t^4 - t + 0.75
$$