一平面简谐波的表达式为 =Acos 2pi (u-x|lambda ). 在 t=1/v 时刻, _(1)=3lambda /4 与 _(2)=lambda /4 二-|||-点处质元速度之比是

考查要点：本题主要考查平面简谐波的波函数形式、质点振动速度的计算，以及相位关系的应用。

解题核心思路：

1. 识别波函数形式：将题目给出的波函数转换为标准形式，明确波数、角频率及波速的关系。
2. 求速度表达式：通过对波函数关于时间求导，得到质点振动速度的表达式。
3. 代入特定时刻与位置：将题目给定的时刻和位置代入速度表达式，计算两点的速度并求比值。

破题关键点：

• 波函数标准化：将题目中的波函数 $y = A\cos[2\pi(u - x/\lambda)]$ 转化为标准形式 $y = A\cos(kx - \omega t + \phi)$，明确波速 $v = \lambda f$。
• 速度公式推导：通过求导得到速度表达式，注意相位项的简化。
• 相位计算：代入具体位置和时间后，利用三角函数的周期性简化计算。

波函数标准化

题目中波函数为 $y = A\cos[2\pi(u - x/\lambda)]$，假设 $u = vt$（$v$ 为波速），则波函数可改写为：
$y = A\cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}(vt - x)\right)$
对应标准形式 $y = A\cos(kx - \omega t + \phi)$，其中：

• 波数 $k = \frac{2\pi}{\lambda}$，
• 角频率 $\omega = \frac{2\pi v}{\lambda}$。

求速度表达式

对波函数关于时间 $t$ 求导，得速度：
$v = \frac{dy}{dt} = -A \cdot \frac{2\pi v}{\lambda} \sin\left(\frac{2\pi}{\lambda}(vt - x)\right)$

代入特定时刻与位置

当 $t = \frac{1}{v}$ 时，$vt = 1$，波函数相位变为：
$\frac{2\pi}{\lambda}(1 - x)$
速度表达式简化为：
$v = -A \cdot \frac{2\pi v}{\lambda} \sin\left(\frac{2\pi}{\lambda}(1 - x)\right)$

计算 $x_1 = \frac{3\lambda}{4}$ 处的速度

相位为：
$\frac{2\pi}{\lambda}\left(1 - \frac{3\lambda}{4}\right) = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \left(-\frac{\lambda}{4}\right) = -\frac{\pi}{2}$
$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$，因此：
$v_1 = -A \cdot \frac{2\pi v}{\lambda} \cdot (-1) = A \cdot \frac{2\pi v}{\lambda}$

计算 $x_2 = \frac{\lambda}{4}$ 处的速度

相位为：
$\frac{2\pi}{\lambda}\left(1 - \frac{\lambda}{4}\right) = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{3\lambda}{4} = \frac{3\pi}{2}$
$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$，因此：
$v_2 = -A \cdot \frac{2\pi v}{\lambda} \cdot (-1) = A \cdot \frac{2\pi v}{\lambda}$

求速度之比

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{A \cdot \frac{2\pi v}{\lambda}}{-A \cdot \frac{2\pi v}{\lambda}} = -1$