一平面简谐波的表达式为 =Acos 2pi (u-x|lambda ). 在 t=1/v 时刻, _(1)=3lambda /4 与 _(2)=lambda /4 二-|||-点处质元速度之比是

步骤 1：确定波的表达式
给定的波的表达式为 $y=A\cos 2\pi (u-x/\lambda )$，其中 $A$ 是振幅，$u$ 是时间，$x$ 是位置，$\lambda$ 是波长。

步骤 2：计算质元的速度
质元的速度是波的表达式对时间 $u$ 的导数。因此，我们对 $y$ 关于 $u$ 求导，得到速度 $v$：
$$v = \frac{dy}{du} = -2\pi A\sin 2\pi (u-x/\lambda )$$

步骤 3：计算在特定时间点和位置的速度
在 $t=1/v$ 时刻，$u=1/v$，代入 $x_1=3\lambda/4$ 和 $x_2=\lambda/4$，计算两个位置处的质元速度：
$$v_1 = -2\pi A\sin 2\pi (1/v-3\lambda/4\lambda) = -2\pi A\sin 2\pi (1/v-3/4)$$
$$v_2 = -2\pi A\sin 2\pi (1/v-\lambda/4\lambda) = -2\pi A\sin 2\pi (1/v-1/4)$$

步骤 4：计算速度之比
计算 $v_1$ 和 $v_2$ 的比值：
$$\frac{v_1}{v_2} = \frac{-2\pi A\sin 2\pi (1/v-3/4)}{-2\pi A\sin 2\pi (1/v-1/4)} = \frac{\sin 2\pi (1/v-3/4)}{\sin 2\pi (1/v-1/4)}$$
由于 $1/v$ 是一个常数，我们可以简化为：
$$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sin 2\pi (1/v-3/4)}{\sin 2\pi (1/v-1/4)} = \frac{\sin 2\pi (1/v-3/4)}{\sin 2\pi (1/v-1/4)}$$
注意到 $2\pi (1/v-3/4)$ 和 $2\pi (1/v-1/4)$ 是相差 $\pi$ 的角度，因此：
$$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sin 2\pi (1/v-3/4)}{\sin 2\pi (1/v-1/4)} = \frac{\sin (2\pi (1/v-1/4) - \pi)}{\sin 2\pi (1/v-1/4)} = \frac{-\sin 2\pi (1/v-1/4)}{\sin 2\pi (1/v-1/4)} = -1$$