题目
"质量为m的物体最初位于(x)_(0)处，在力F=-frac (k) ({x)^2}作用下由静止开始沿直线运动，k为一常数，则物体在任一位置x处的速度应为( )A.sqrt (frac {k) (m)(frac (1) (x)-frac (1) ({x)_(0)})}B.sqrt (frac {2k) (m)(frac (1) (x)-frac (1) ({x)_(0)})}C.sqrt (frac {3k) (m)(frac (1) (x)-frac (1) ({x)_(0)})}D.sqrt (frac {k) (m)(frac (1) (x)-frac (1) ({x)_(0)})}"
"
质量为m的物体最初位于${x}_{0}$处，在力$F=-\frac {k} {{x}^{2}}$作用下由静止开始沿直线运动，k为一常数，则物体在任一位置x处的速度应为( )
A.$\sqrt {\frac {k} {m}(\frac {1} {x}-\frac {1} {{x}_{0}})}$
B.$\sqrt {\frac {2k} {m}(\frac {1} {x}-\frac {1} {{x}_{0}})}$
C.$\sqrt {\frac {3k} {m}(\frac {1} {x}-\frac {1} {{x}_{0}})}$
D.$\sqrt {\frac {k} {m}(\frac {1} {x}-\frac {1} {{x}_{0}})}$
"题目解答
答案
"
解析：
设运动加速度为a，$a=\frac {dv} {dt}=v\frac {dv} {dx}=-\frac {k} {m}\frac {1} {{x}^{2}}$；
$\int ^{v}_{0} {v}dv=\int ^{x}_{{x}_{0}} {(-\frac {k} {m{x}^{2}})}dx$，$\frac {1} {2}{v}^{2}=\frac {k} {m}(\frac {1} {x}-\frac {1} {{x}_{0}})$，所以$v=\sqrt {\frac {2k} {m}(\frac {1} {x}-\frac {1} {{x}_{0}})}$
故本题选：B
"解析
步骤 1：确定加速度与速度的关系
设运动加速度为a，根据牛顿第二定律，$a=\frac {F} {m}=-\frac {k} {m{x}^{2}}$。由于$a=\frac {dv} {dt}=v\frac {dv} {dx}$，可以得到$v\frac {dv} {dx}=-\frac {k} {m{x}^{2}}$。
步骤 2：积分求解速度
对上式两边积分，$\int ^{v}_{0} {v}dv=\int ^{x}_{{x}_{0}} {(-\frac {k} {m{x}^{2}})}dx$，得到$\frac {1} {2}{v}^{2}=\frac {k} {m}(\frac {1} {x}-\frac {1} {{x}_{0}})$。
步骤 3：求解速度表达式
从步骤2得到的方程中解出v，得到$v=\sqrt {\frac {2k} {m}(\frac {1} {x}-\frac {1} {{x}_{0}})}$。
设运动加速度为a，根据牛顿第二定律，$a=\frac {F} {m}=-\frac {k} {m{x}^{2}}$。由于$a=\frac {dv} {dt}=v\frac {dv} {dx}$，可以得到$v\frac {dv} {dx}=-\frac {k} {m{x}^{2}}$。
步骤 2：积分求解速度
对上式两边积分，$\int ^{v}_{0} {v}dv=\int ^{x}_{{x}_{0}} {(-\frac {k} {m{x}^{2}})}dx$，得到$\frac {1} {2}{v}^{2}=\frac {k} {m}(\frac {1} {x}-\frac {1} {{x}_{0}})$。
步骤 3：求解速度表达式
从步骤2得到的方程中解出v，得到$v=\sqrt {\frac {2k} {m}(\frac {1} {x}-\frac {1} {{x}_{0}})}$。