题目
[题目]一质点沿半径为1m的圆周运动,运动方-|||-程为 theta =2+3(t)^3, 式中θ以rad计,t以s计,求:-|||-(1) t=2s 时,质点的切向和法向加速度;-|||-(2)当加速度的方向和半径成45°角时,其角位-|||-移是多少?
题目解答
答案
["![](\"https://img.zuoyebang.cc/zyb_703e225855377a72efdfc06ed4f63bb4.jpg\")
"]
"]解析
步骤 1：计算角速度
根据运动方程 $\theta =2+3{t}^{3}$，我们可以通过对时间t求导来计算角速度 $\omega$。即 $\omega =\dfrac {d\theta }{dt}=9{t}^{2}$。
步骤 2：计算线速度
线速度 $v$ 可以通过角速度 $\omega$ 乘以半径 $R$ 来计算，即 $v=\omega R=9{t}^{2}$。
步骤 3：计算法向加速度
法向加速度 ${a}_{n}$ 可以通过角速度 $\omega$ 的平方乘以半径 $R$ 来计算，即 ${a}_{n}={\omega }^{2}R=1\times (9\times {2}^{2})=1296m/{s}^{2}$。
步骤 4：计算切向加速度
切向加速度 $a'$ 可以通过线速度 $v$ 对时间t求导来计算，即 $a'=\dfrac {dv}{dt}=18t=18\times 2=36m/{s}^{2}$。
步骤 5：计算角位移
当总加速度与半径成45°角时，向心加速度与切向加速度大小相等，即 ${a}_{n}={a}^{n}$。代入数据可得：$1\times 81{t}^{4}=9t$，则 ${t}^{3}=\dfrac {1}{9}$。此时：$\theta =2+3{t}^{3}=2+\dfrac {1}{6}=\dfrac {13}{6}rad$。
根据运动方程 $\theta =2+3{t}^{3}$，我们可以通过对时间t求导来计算角速度 $\omega$。即 $\omega =\dfrac {d\theta }{dt}=9{t}^{2}$。
步骤 2：计算线速度
线速度 $v$ 可以通过角速度 $\omega$ 乘以半径 $R$ 来计算，即 $v=\omega R=9{t}^{2}$。
步骤 3：计算法向加速度
法向加速度 ${a}_{n}$ 可以通过角速度 $\omega$ 的平方乘以半径 $R$ 来计算，即 ${a}_{n}={\omega }^{2}R=1\times (9\times {2}^{2})=1296m/{s}^{2}$。
步骤 4：计算切向加速度
切向加速度 $a'$ 可以通过线速度 $v$ 对时间t求导来计算，即 $a'=\dfrac {dv}{dt}=18t=18\times 2=36m/{s}^{2}$。
步骤 5：计算角位移
当总加速度与半径成45°角时，向心加速度与切向加速度大小相等，即 ${a}_{n}={a}^{n}$。代入数据可得：$1\times 81{t}^{4}=9t$，则 ${t}^{3}=\dfrac {1}{9}$。此时：$\theta =2+3{t}^{3}=2+\dfrac {1}{6}=\dfrac {13}{6}rad$。