题目
五、计算题设有一质量为,半径为的匀质圆盘,可绕过圆盘中心的水平轴转动,在轮上绕有轻绳,轻绳下端挂着质量为的重物,求重物下降时的加速度和绳中张力。(已知圆盘质量为重物质量的3倍)
五、计算题
设有一质量为,半径为的匀质圆盘,可绕过圆盘中心的水平轴转动,在轮上绕有轻绳,轻绳下端挂着质量为的重物,求重物下降时的加速度和绳中张力。
(已知圆盘质量为重物质量的3倍)
题目解答
答案
解:
3分
3分
2分
3分
2分
2分
解析
步骤 1：分析重物的受力情况
重物受到重力mg和绳子的拉力T的作用，根据牛顿第二定律，有：
$$mg - T = ma$$
步骤 2：分析圆盘的转动情况
圆盘受到绳子的拉力T，产生角加速度$\alpha$，根据转动定律，有：
$$TR = J\alpha$$
其中，$J$是圆盘的转动惯量，对于匀质圆盘，$J = \frac{1}{2}MR^2$。
步骤 3：将转动惯量代入转动定律
$$TR = \frac{1}{2}MR^2\alpha$$
步骤 4：将角加速度与线加速度的关系代入
由于$a = R\alpha$，可以将角加速度$\alpha$用线加速度$a$表示，即$\alpha = \frac{a}{R}$，代入上式，得到：
$$TR = \frac{1}{2}MR^2\frac{a}{R}$$
步骤 5：求解加速度
将步骤1和步骤4的方程联立，消去T，得到：
$$mg - \frac{1}{2}Ma = ma$$
由于题目已知圆盘质量为重物质量的3倍，即$M = 3m$，代入上式，得到：
$$mg - \frac{1}{2}3ma = ma$$
解得：
$$a = \frac{2mg}{2m + M} = \frac{2mg}{2m + 3m} = \frac{2mg}{5m} = \frac{2}{5}g$$
步骤 6：求解绳中张力
将加速度$a$代入步骤1的方程，得到：
$$T = mg - ma = mg - m\frac{2}{5}g = \frac{3}{5}mg$$
重物受到重力mg和绳子的拉力T的作用，根据牛顿第二定律，有：
$$mg - T = ma$$
步骤 2：分析圆盘的转动情况
圆盘受到绳子的拉力T，产生角加速度$\alpha$，根据转动定律，有：
$$TR = J\alpha$$
其中，$J$是圆盘的转动惯量，对于匀质圆盘，$J = \frac{1}{2}MR^2$。
步骤 3：将转动惯量代入转动定律
$$TR = \frac{1}{2}MR^2\alpha$$
步骤 4：将角加速度与线加速度的关系代入
由于$a = R\alpha$，可以将角加速度$\alpha$用线加速度$a$表示，即$\alpha = \frac{a}{R}$，代入上式，得到：
$$TR = \frac{1}{2}MR^2\frac{a}{R}$$
步骤 5：求解加速度
将步骤1和步骤4的方程联立，消去T，得到：
$$mg - \frac{1}{2}Ma = ma$$
由于题目已知圆盘质量为重物质量的3倍，即$M = 3m$，代入上式，得到：
$$mg - \frac{1}{2}3ma = ma$$
解得：
$$a = \frac{2mg}{2m + M} = \frac{2mg}{2m + 3m} = \frac{2mg}{5m} = \frac{2}{5}g$$
步骤 6：求解绳中张力
将加速度$a$代入步骤1的方程，得到：
$$T = mg - ma = mg - m\frac{2}{5}g = \frac{3}{5}mg$$