【场强计算】如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电荷为q，则在直杆延长线上距杆的一端距离为L/4的P点的电场强度为t/T T-|||-b

考查要点：本题主要考查连续带电体电场的计算，需要将带电体分割为无限多个电荷元，计算每个电荷元在场点产生的场强，再通过积分求和。

解题核心思路：

1. 建立坐标系，确定场点P的位置与带电杆的位置关系。
2. 均匀带电杆的电荷线密度为 $\lambda = \dfrac{Q}{L}$。
3. 微元法：将杆分割为无数电荷元 $dq = \lambda dx$，计算每个电荷元在P点的场强 $dE$。
4. 积分求和：所有电荷元的场强方向相同，直接积分求总场强。

破题关键点：

• 正确确定电荷元到P点的距离，注意杆的延长线方向。
• 积分上下限需与杆的长度和场点位置对应。

坐标系设定与场点位置

设带电杆沿x轴延伸，左端位于原点 $x=0$，右端位于 $x=L$。场点P在杆的延长线上，距左端 $L/4$，故坐标为 $x_P = -\dfrac{L}{4}$。

电荷元的场强表达式

取杆上坐标为 $x$ 处的微小电荷元 $dx$，其电荷量为：
$dq = \lambda dx = \dfrac{Q}{L} dx$
该电荷元到P点的距离为：
$r = x - x_P = x - \left(-\dfrac{L}{4}\right) = x + \dfrac{L}{4}$
电荷元在P点产生的场强大小为：
$dE = k \dfrac{dq}{r^2} = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \dfrac{\dfrac{Q}{L} dx}{\left(x + \dfrac{L}{4}\right)^2}$
方向沿x轴正方向（假设杆带正电）。

积分求总场强

总场强为所有电荷元场强的积分：
$E = \int_{0}^{L} dE = \dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0 L} \int_{0}^{L} \dfrac{dx}{\left(x + \dfrac{L}{4}\right)^2}$
令 $u = x + \dfrac{L}{4}$，则 $du = dx$，积分上下限变为 $u = \dfrac{L}{4}$ 到 $u = \dfrac{5L}{4}$：
$\int_{\dfrac{L}{4}}^{\dfrac{5L}{4}} \dfrac{du}{u^2} = \left[ -\dfrac{1}{u} \right]_{\dfrac{L}{4}}^{\dfrac{5L}{4}} = -\dfrac{4}{5L} + \dfrac{4}{L} = \dfrac{16}{5L}$
代入得总场强：
$E = \dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0 L} \cdot \dfrac{16}{5L} = \dfrac{4Q}{5\pi \varepsilon_0 L^2}$