某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h，经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k=6.0times 10^6).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？（注：kg表示千克，km/h表示千米/小时）

由题设，飞机的质量$m=9000kg$，着陆时的水平速度$v_{0}=700km/h=dfrac{700}{3.6}m/s$.从飞机接触跑道开始记时，设$t$时刻飞机的滑行距离为$xleft(tright)$，速度为$vleft(tright)$.

则飞机受到阻力$overrightarrow {f}=-koverrightarrow {v}$，在阻力作用下，飞机以初始速度$v_{0}$减速运动，最后静止.

方法一：

根据牛顿第二定律，得$mdfrac{dv}{dt}=-kv$.

又$   dfrac{dv}{dt}=dfrac{dv}{dx}cdot dfrac{dx}{dt}=vdfrac{dv}{dx}$，

由以上两式得$dx=-dfrac{m}{k}dv$，

积分得$ xleft(tright)=-dfrac{m}{k}v+C$，$C$为任意常数.

由于$vleft(0right)=v_{0}$，$xleft(0right)=0$，故得$C=dfrac{m}{k}v_{0}$，从而$xleft(tright)=dfrac{m}{k}left(v_{0}-vleft(tright)right)$.

当$vleft(tright)rightarrow 0$时，$xleft(tright)rightarrow dfrac{mv_{0}}{k}=dfrac{9000times 700}{6.0times 10^{6}times 3.6}=0.292left(kmright)=292m$.

所以，飞机滑行的最长距离为$292m$.

方法二：

根据牛顿第二定律，得$ mdfrac{dv}{dt}=-kv$，

所以$    dfrac{dv}{v}=-dfrac{k}{m}dt$.

两端积分得通解$v=Ce^{-frac{k}{m}t}$，代入初始条件$v|_{t=0}=v_{0}$解得$C=v_{0}$，

故$   vleft(tright)=v_{0}e^{-frac{k}{m}t}$.

①因此，$trightarrow infty $时飞机滑行才停止，即距离最大.

所以，飞机滑行的最长距离为$x=int_{0}^{+infty }vleft(tright)dt=-dfrac{mv_{0}}{k}e^{-frac{k}{m}t}| _{0}^{+infty }=dfrac{mv_{0}}{k}=292left(mright)$.

②或由$dfrac{mathrm{d}x}{dt}=v_{0}e^{-frac{k}{m}t}$，知$xleft(tright)=int_{0}^{t}v_{0}e^{-frac{k}{m}t}dt=-dfrac{mv_{0}}{k}left(e^{-frac{k}{m}t}-1right)$，故最长距离为当$trightarrow infty $时，$xleft(tright)rightarrow dfrac{mv_{0}}{k}=292left(mright)$.

方法三：

根据牛顿第二定律，得$ mdfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=-kdfrac{mathrm{d}x}{dt}$，$dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}+dfrac{k}{m}dfrac{dx}{dt}=0$，

其特征方程为$ lambda ^{2}+dfrac{k}{m}lambda =0$，解之得$lambda _{1}=0$，$lambda _{2}=-dfrac{k}{m}$，

故$   x=C_{1}+C_{2}e^{-frac{k}{m}t}$.

由$ x| _{t=0}=0,v| _{t=0}=dfrac{dx}{dt}| _{t=0}^{ }=-dfrac{kC_{2}}{m}e^{-frac{k}{m}t}| _{t=0}=v_{0}$，

得$   C_{1}=-C_{2}=dfrac{mv_{0}}{k}$，于是$ xleft(tright)=dfrac{mv_{0}}{k}left(1-e^{-frac{k}{m}t}right)$.

当$trightarrow +infty $时，$xleft(tright)rightarrow dfrac{mv_{0}}{k}=292left(mright)$.

所以，飞机滑行的最长距离为$292m$.