题目
已知：如图所示均质圆环半径为r，质量为m，其上焊接刚杆OA，杆长为r，质量也为m。用手扶住圆环使其在OA水平位置静止。设圆环与地面间为纯滚动。求：放手瞬时，圆环的角加速度，地面的摩擦力及法向约束力。
已知：如图所示均质圆环半径为r，质量为m，其上焊接刚杆OA，杆长为r，质量也为m。用手扶住圆环使其在OA水平位置静止。设圆环与地面间为纯滚动。求：放手瞬时，圆环的角加速度，地面的摩擦力及法向约束力。 
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定圆环和刚杆的质心位置
圆环的质心位于圆心，刚杆的质心位于其长度的中点，即距离圆心r/2处。因此，整个系统的质心位于圆心和刚杆质心的连线上的某一点，该点距离圆心的距离为r/4。
步骤 2：建立平面运动微分方程
根据质心运动定理，对于圆环和刚杆组成的系统，有：
- 水平方向：$2m{a}_{cx}={F}_{s}$
- 垂直方向：$2m{a}_{cy}=2mg-{F}_{N}$
- 对质心的转动方程：${\int }_{c}d={F}_{N}\cdot \dfrac {r}{4}-{F}_{r}$
步骤 3：计算系统的转动惯量
圆环的转动惯量为$m{r}^{2}$，刚杆的转动惯量为$\dfrac {1}{12}m{r}^{2}$，因此系统的转动惯量为：
${I}_{c}=\dfrac {m{r}^{2}}{12}+m{(\dfrac {r}{4})}^{2}+m{r}^{2}+m(\dfrac {r}{4})=\dfrac {29}{24}m{r}^{2}$
步骤 4：求解加速度和角加速度
由求加速度基点法有：
${a}_{cx}={a}_{0}=ra$
${a}_{cy}={a}_{CO}{(})=\dfrac {1}{4}ra$
因此，角加速度$\alpha =\dfrac {3}{20}$ 顺时针。
步骤 5：求解地面的摩擦力和法向约束力
根据步骤2中的方程，可以求得：
${F}_{s}=\dfrac {3}{10}mg$
${F}_{N}=\dfrac {77}{40}mg$
圆环的质心位于圆心，刚杆的质心位于其长度的中点，即距离圆心r/2处。因此，整个系统的质心位于圆心和刚杆质心的连线上的某一点，该点距离圆心的距离为r/4。
步骤 2：建立平面运动微分方程
根据质心运动定理，对于圆环和刚杆组成的系统，有：
- 水平方向：$2m{a}_{cx}={F}_{s}$
- 垂直方向：$2m{a}_{cy}=2mg-{F}_{N}$
- 对质心的转动方程：${\int }_{c}d={F}_{N}\cdot \dfrac {r}{4}-{F}_{r}$
步骤 3：计算系统的转动惯量
圆环的转动惯量为$m{r}^{2}$，刚杆的转动惯量为$\dfrac {1}{12}m{r}^{2}$，因此系统的转动惯量为：
${I}_{c}=\dfrac {m{r}^{2}}{12}+m{(\dfrac {r}{4})}^{2}+m{r}^{2}+m(\dfrac {r}{4})=\dfrac {29}{24}m{r}^{2}$
步骤 4：求解加速度和角加速度
由求加速度基点法有：
${a}_{cx}={a}_{0}=ra$
${a}_{cy}={a}_{CO}{(})=\dfrac {1}{4}ra$
因此，角加速度$\alpha =\dfrac {3}{20}$ 顺时针。
步骤 5：求解地面的摩擦力和法向约束力
根据步骤2中的方程，可以求得：
${F}_{s}=\dfrac {3}{10}mg$
${F}_{N}=\dfrac {77}{40}mg$