题目
例6.2 图中悬臂梁,试求截面 a-a 上A,B,C,D四点的正应力,并绘出该截面的正应力-|||-分布图。-|||-180-|||-15kN A-|||-20kN·m-|||-a1 300 C 2-|||-A a-|||-3m 1m 1m B-|||-D 50-|||-y-|||-例6.2图
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算截面 a-a 上的弯矩
根据题目中的悬臂梁结构，截面 a-a 上的弯矩 ${M}_{a}$ 可以通过计算得到。题目中给出的弯矩为 ${M}_{a}=20kN\cdot m$。
步骤 2：计算截面的惯性矩
截面为矩形，其惯性矩 ${I}_{i}$ 可以通过公式 ${I}_{i}=\dfrac {b{h}^{3}}{12}$ 计算，其中 b 为矩形的宽度，h 为矩形的高度。题目中给出的尺寸为 b=180mm=0.18m，h=300mm=0.3m，代入公式计算得 ${I}_{i}=4.05\times {10}^{-4}{m}^{4}$。
步骤 3：计算各点的正应力
根据公式 ${\sigma }_{i}=\dfrac {{M}_{i}{y}_{i}}{{I}_{i}}$，其中 ${\sigma }_{i}$ 为各点的正应力，${M}_{i}$ 为截面的弯矩，${y}_{i}$ 为各点到中性轴的距离，${I}_{i}$ 为截面的惯性矩。题目中给出的各点到中性轴的距离分别为 ${y}_{A}=150mm=0.15m$，${y}_{B}=100mm=0.1m$，${y}_{C}=0$，${y}_{D}=150mm=0.15m$。代入公式计算得：
${\sigma }_{A}=\dfrac {{M}_{1}{y}_{A}}{{I}_{i}}=-7.41MPa$
${\sigma }_{B}=\dfrac {{M}_{1}{y}_{B}}{{I}_{i}}=4.94MPa$
${\sigma }_{C}=0$
${\sigma }_{D}={\sigma }_{A}=-7.41MPa$
步骤 4：绘制正应力分布图
根据计算结果，绘制截面 a-a 上的正应力分布图。正应力分布图中，A、D两点的正应力为-7.41MPa，B点的正应力为4.94MPa，C点的正应力为0。
根据题目中的悬臂梁结构，截面 a-a 上的弯矩 ${M}_{a}$ 可以通过计算得到。题目中给出的弯矩为 ${M}_{a}=20kN\cdot m$。
步骤 2：计算截面的惯性矩
截面为矩形，其惯性矩 ${I}_{i}$ 可以通过公式 ${I}_{i}=\dfrac {b{h}^{3}}{12}$ 计算，其中 b 为矩形的宽度，h 为矩形的高度。题目中给出的尺寸为 b=180mm=0.18m，h=300mm=0.3m，代入公式计算得 ${I}_{i}=4.05\times {10}^{-4}{m}^{4}$。
步骤 3：计算各点的正应力
根据公式 ${\sigma }_{i}=\dfrac {{M}_{i}{y}_{i}}{{I}_{i}}$，其中 ${\sigma }_{i}$ 为各点的正应力，${M}_{i}$ 为截面的弯矩，${y}_{i}$ 为各点到中性轴的距离，${I}_{i}$ 为截面的惯性矩。题目中给出的各点到中性轴的距离分别为 ${y}_{A}=150mm=0.15m$，${y}_{B}=100mm=0.1m$，${y}_{C}=0$，${y}_{D}=150mm=0.15m$。代入公式计算得：
${\sigma }_{A}=\dfrac {{M}_{1}{y}_{A}}{{I}_{i}}=-7.41MPa$
${\sigma }_{B}=\dfrac {{M}_{1}{y}_{B}}{{I}_{i}}=4.94MPa$
${\sigma }_{C}=0$
${\sigma }_{D}={\sigma }_{A}=-7.41MPa$
步骤 4：绘制正应力分布图
根据计算结果，绘制截面 a-a 上的正应力分布图。正应力分布图中，A、D两点的正应力为-7.41MPa，B点的正应力为4.94MPa，C点的正应力为0。