一质点在x轴上做简谐振动，取该质点向右运动通过A点时作为计时起点（t=0），经过2s后质点第一次经过B点，再经过2s后质点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且AB=10cm。求：（1）质点的振动方程；（2）质点在A点的速率。

关键思路：

1. 对称性分析：A、B两点速率相同，说明它们关于平衡位置对称，且AB距离为10cm，故平衡位置到A、B的距离均为5cm。
2. 周期确定：质点从B点到右侧最大位移的时间为2s，结合简谐振动的对称性，可推出周期为8s。
3. 振动方程形式：根据初始条件（t=0时质点在A点向右运动），确定相位角和振幅，最终写出方程。
4. 速率计算：对振动方程求导得速度表达式，代入t=0即可求得A点速率。

（1）质点的振动方程

确定周期

质点从B点到右侧最大位移的时间为2s，而从最大位移返回到B点同样需要2s，因此半周期为4s，周期为：
$T = 8 \, \text{s}$

确定角频率

角频率为：
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{\pi}{4} \, \text{rad/s}$

设定振动方程形式

取平衡位置为原点，向右为正方向，振动方程设为：
$x = A \sin(\omega t + \phi_0)$

代入初始条件

1. t=0时，质点在A点（x=-5cm）：
   $-5 = A \sin\phi_0$
2. t=1s时，质点到达平衡点（x=0）：
   $0 = A \sin\left(\frac{\pi}{4} \cdot 1 + \phi_0\right)$
   由$\sin(\theta) = 0$得$\theta = n\pi$，取$n=0$，得：
   $\frac{\pi}{4} + \phi_0 = 0 \implies \phi_0 = -\frac{\pi}{4}$

求振幅A

将$\phi_0 = -\frac{\pi}{4}$代入$t=0$的方程：
$-5 = A \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = A \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \implies A = 5\sqrt{2} \, \text{cm}$

振动方程

综上，振动方程为：
$x = 5\sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{4}\right) \, \text{cm}$

（2）质点在A点的速率

速度表达式

对振动方程求导得速度：
$v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{4} \cos\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{4}\right) \, \text{cm/s}$

代入t=0

在A点（t=0）时：
$v = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{4} \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\pi}{4} \, \text{cm/s}$
换算为国际单位制：
$v = \frac{5\pi}{4} \times 10^{-2} \, \text{m/s}$