题目
一无限长直导线通以电流一，旁边有一等腰直角三角形线圈通以电流一，线圈与长直导线在同一平面内，位置如图所示。(1)求三角形线圈各条边所受的安培力。(2)保持电流不变而将线圈绕AC边转动一，求转动过程中磁力所做的功。一
一无限长直导线通以电流
，旁边有一等腰直角三角形线圈通以电流
，线圈与长直导线在同一平面内，位置如图所示。
(1)求三角形线圈各条边所受的安培力。
(2)保持电流不变而将线圈绕AC边转动
，求转动过程中磁力所做的功。
题目解答
答案
（1）根据安培环路定理
，解得
，AB边磁场分布均匀直接用公式
计算即可，
，计算BC和AC边的安培力需要进行积分，就有
，
对于BC边，
，就有
，
，解得
，
对于AC边
，AC边受到的安培力
，解得
。
所以AB边受到的安培力为
BC边受到的安培力为，
AC边受到的安培力为。
（2）原来线圈中的磁通量为
，解得
，根据分析磁通量的变化量就等于原来磁通量的两倍，磁力做的功
，所以转动过程中磁力所做的功
。
解析
步骤 1：计算AB边所受的安培力
根据安培环路定理，无限长直导线周围磁场的磁感应强度$B$为$B=\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{1}}{2\pi r}$，其中${\mu}_{0}$是真空磁导率，${I}_{1}$是直导线中的电流，$r$是到导线的距离。AB边的长度为$l$，距离直导线的距离为$d+l$，因此AB边所受的安培力为${F}_{AB}=B{I}_{2}l=\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{1}{I}_{2}l}{2\pi (d+l)}$。
步骤 2：计算BC边所受的安培力
BC边的长度为$l$，距离直导线的距离从$d$到$d+l$，因此BC边所受的安培力需要进行积分计算。$dF=B{I}_{2}dl$，其中$dl=\sqrt{2}dr$，$r$从$d$到$d+l$，因此${F}_{BC}={\int}_{d}^{d+l}\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{1}{I}_{2}\sqrt{2}}{2\pi r}dr=\dfrac{\sqrt{2}{\mu}_{0}{I}_{1}{I}_{2}}{2\pi}\ln r{|}_{d}^{d+l}=\dfrac{\sqrt{2}{\mu}_{0}{I}_{1}{I}_{2}}{2\pi}\ln \dfrac{d+l}{d}$。
步骤 3：计算AC边所受的安培力
AC边的长度为$l$，距离直导线的距离从$d$到$d+l$，因此AC边所受的安培力需要进行积分计算。$dF=B{I}_{2}dl$，其中$dl=dr$，$r$从$d$到$d+l$，因此${F}_{AC}={\int}_{d}^{d+l}\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{1}{I}_{2}}{2\pi r}dr=\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{1}{I}_{2}}{2\pi}\ln r{|}_{d}^{d+l}=\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{1}{I}_{2}}{2\pi}\ln \dfrac{d+l}{d}$。
步骤 4：计算转动过程中磁力所做的功
线圈绕AC边转动180°，磁通量的变化量等于原来磁通量的两倍。原来线圈中的磁通量为$\phi={\int}_{d}^{d+l}{\int}_{0}^{r-d}\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{1}}{2\pi r}dhdr=\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{1}}{2\pi}(r-d\ln r){|}_{d}^{d+l}=\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{1}}{2\pi}(l-d-d\ln \dfrac{d+l}{d})$，因此转动过程中磁力所做的功为$W=2{I}_{2}\phi=\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{1}{I}_{2}}{\pi}(l-d-d\ln \dfrac{d+l}{d})$。
根据安培环路定理，无限长直导线周围磁场的磁感应强度$B$为$B=\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{1}}{2\pi r}$，其中${\mu}_{0}$是真空磁导率，${I}_{1}$是直导线中的电流，$r$是到导线的距离。AB边的长度为$l$，距离直导线的距离为$d+l$，因此AB边所受的安培力为${F}_{AB}=B{I}_{2}l=\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{1}{I}_{2}l}{2\pi (d+l)}$。
步骤 2：计算BC边所受的安培力
BC边的长度为$l$，距离直导线的距离从$d$到$d+l$，因此BC边所受的安培力需要进行积分计算。$dF=B{I}_{2}dl$，其中$dl=\sqrt{2}dr$，$r$从$d$到$d+l$，因此${F}_{BC}={\int}_{d}^{d+l}\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{1}{I}_{2}\sqrt{2}}{2\pi r}dr=\dfrac{\sqrt{2}{\mu}_{0}{I}_{1}{I}_{2}}{2\pi}\ln r{|}_{d}^{d+l}=\dfrac{\sqrt{2}{\mu}_{0}{I}_{1}{I}_{2}}{2\pi}\ln \dfrac{d+l}{d}$。
步骤 3：计算AC边所受的安培力
AC边的长度为$l$，距离直导线的距离从$d$到$d+l$，因此AC边所受的安培力需要进行积分计算。$dF=B{I}_{2}dl$，其中$dl=dr$，$r$从$d$到$d+l$，因此${F}_{AC}={\int}_{d}^{d+l}\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{1}{I}_{2}}{2\pi r}dr=\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{1}{I}_{2}}{2\pi}\ln r{|}_{d}^{d+l}=\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{1}{I}_{2}}{2\pi}\ln \dfrac{d+l}{d}$。
步骤 4：计算转动过程中磁力所做的功
线圈绕AC边转动180°，磁通量的变化量等于原来磁通量的两倍。原来线圈中的磁通量为$\phi={\int}_{d}^{d+l}{\int}_{0}^{r-d}\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{1}}{2\pi r}dhdr=\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{1}}{2\pi}(r-d\ln r){|}_{d}^{d+l}=\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{1}}{2\pi}(l-d-d\ln \dfrac{d+l}{d})$，因此转动过程中磁力所做的功为$W=2{I}_{2}\phi=\dfrac{{\mu}_{0}{I}_{1}{I}_{2}}{\pi}(l-d-d\ln \dfrac{d+l}{d})$。