题目
在间歇反应器中进行一级不可逆反应 mathrm(A) arrow mathrm(P)，反应速率常数 k = 0.2 , mathrm(min)^-1。若要求反应物 mathrm(A) 的转化率达到 90%，求所需的反应时间。
在间歇反应器中进行一级不可逆反应 $\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{P}$，反应速率常数 $k = 0.2 \, \mathrm{min}^{-1}$。若要求反应物 $\mathrm{A}$ 的转化率达到 $90\%$，求所需的反应时间。
题目解答
答案
根据一级反应速率方程 $ C_A = C_{A0} e^{-k t} $，当 $ X = 90\% $ 时，$ C_A = 0.1 C_{A0} $。
由 $ e^{-k t} = 0.1 $，可得：
\[
t = \frac{-\ln(0.1)}{k} = \frac{2.3026}{0.2} = 11.513 \, \text{min}
\]
因此，所需反应时间为 $ t \approx 11.51 \, \text{min} $。
答案：约 11.51 分钟。
解析
本题考查一级不可逆反应在间歇反应器中的动力学计算。解题思路是先明确一级反应的速率方程，再根据转化率的定义找出反应前后反应物浓度的关系，最后将相关数据代入方程求解反应时间。
- 一级不可逆反应 $\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{P}$ 的速率方程为：
- 对于间歇反应器，反应速率方程的积分形式为 $\frac{dC_A}{dt}=-kC_A$，对其进行积分，从初始时刻 $t = 0$（此时 $C_A = C_{A0}$）到时刻 $t$（此时 $C_A$ 为剩余反应物 $\mathrm{A}$ 的浓度），可得：
- $\int_{C_{A0}}^{C_A}\frac{dC_A}{C_A}=-\int_{0}^{t}kdt$。
- 根据积分公式 $\int\frac{1}{x}dx=\ln x + C$，则左边积分结果为 $\ln C_A-\ln C_{A0}=\ln\frac{C_A}{C_{A0}}$，右边积分结果为 $-kt$。
- 所以得到 $\ln\frac{C_A}{C_{A0}}=-kt$，变形为 $C_A = C_{A0}e^{-kt}$。
- 对于间歇反应器，反应速率方程的积分形式为 $\frac{dC_A}{dt}=-kC_A$，对其进行积分，从初始时刻 $t = 0$（此时 $C_A = C_{A0}$）到时刻 $t$（此时 $C_A$ 为剩余反应物 $\mathrm{A}$ 的浓度），可得：
- 根据转化率的定义：
- 转化率 $X=\frac{C_{A0}-C_A}{C_{A0}}$，已知 $X = 90\%=0.9$，则 $0.9=\frac{C_{A0}-C_A}{C_{A0}}$。
- 等式两边同乘 $C_{A0}$ 得 $0.9C_{A0}=C_{A0}-C_A$，移项可得 $C_A = C_{A0}-0.9C_{A0}=0.1C_{A0}$。
- 将 $C_A = 0.1C_{A0}$ 代入 $C_A = C_{A0}e^{-kt}$：
- 得到 $0.1C_{A0}=C_{A0}e^{-kt}$，两边同时除以 $C_{A0}$，可得 $e^{-kt}=0.1$。
- 对等式两边取自然对数，$\ln(e^{-kt})=\ln(0.1)$，根据对数性质 $\ln(e^x)=x$，则 $-kt=\ln(0.1)$。
- 已知 $k = 0.2\mathrm{min}^{-1}$，所以 $t=\frac{-\ln(0.1)}{k}$。
- 因为 $\ln(0.1)=\ln\frac{1}{10}=-\ln10\approx - 2.3026$，则 $t=\frac{2.3026}{0.2}=11.513\mathrm{min}\approx11.51\mathrm{min}$。