题目
3-7 如图所示,用轻绳系一质量为m的小球,-|||-使之在光滑水平面上作圆周运动,开始时,半径为-|||-r0,速率为v0,绳的另一端穿过平面上的光滑小孔,-|||-现用力F向下拉绳,使小球运动半径逐渐减小.-|||-试求:-|||-v0-|||-v r ro-|||-F-|||-习题 3-7 图-|||-(1)当运动半径减小至r时,小球的速率v为-|||-多少?-|||-(2)若以速度u匀速向下拉绳,求角速度与时间-|||-的关系w(t)和绳中张力与时间的关系F(t).
题目解答
答案
解析
步骤 1：角动量守恒
小球在光滑水平面上作圆周运动，绳子的另一端穿过平面上的光滑小孔，因此小球受到的力只有绳子的拉力，这个力始终指向圆心，不改变小球的角动量。所以，小球的角动量守恒。
步骤 2：计算小球的速率
根据角动量守恒定律，小球的角动量在运动过程中保持不变。初始时，小球的角动量为 \( m v_0 r_0 \)，当运动半径减小至 \( r \) 时，小球的角动量为 \( m v r \)。因此，有 \( m v_0 r_0 = m v r \)，解得 \( v = v_0 \frac{r_0}{r} \)。
步骤 3：计算角速度与时间的关系
若以速度 \( u \) 匀速向下拉绳，小球的运动半径随时间变化，设 \( r(t) = r_0 - u t \)。根据角动量守恒定律，小球的角动量为 \( m v r = m v_0 r_0 \)，解得 \( v = v_0 \frac{r_0}{r(t)} \)。角速度 \( \omega(t) = \frac{v}{r(t)} = \frac{v_0}{r_0 - u t} \)。
步骤 4：计算绳中张力与时间的关系
绳中张力 \( F(t) \) 为小球做圆周运动所需的向心力，即 \( F(t) = m v^2 / r(t) \)。将 \( v = v_0 \frac{r_0}{r(t)} \) 代入，得 \( F(t) = m \left( v_0 \frac{r_0}{r(t)} \right)^2 / r(t) = m v_0^2 \frac{r_0^2}{(r_0 - u t)^3} \)。
小球在光滑水平面上作圆周运动，绳子的另一端穿过平面上的光滑小孔，因此小球受到的力只有绳子的拉力，这个力始终指向圆心，不改变小球的角动量。所以，小球的角动量守恒。
步骤 2：计算小球的速率
根据角动量守恒定律，小球的角动量在运动过程中保持不变。初始时，小球的角动量为 \( m v_0 r_0 \)，当运动半径减小至 \( r \) 时，小球的角动量为 \( m v r \)。因此，有 \( m v_0 r_0 = m v r \)，解得 \( v = v_0 \frac{r_0}{r} \)。
步骤 3：计算角速度与时间的关系
若以速度 \( u \) 匀速向下拉绳，小球的运动半径随时间变化，设 \( r(t) = r_0 - u t \)。根据角动量守恒定律，小球的角动量为 \( m v r = m v_0 r_0 \)，解得 \( v = v_0 \frac{r_0}{r(t)} \)。角速度 \( \omega(t) = \frac{v}{r(t)} = \frac{v_0}{r_0 - u t} \)。
步骤 4：计算绳中张力与时间的关系
绳中张力 \( F(t) \) 为小球做圆周运动所需的向心力，即 \( F(t) = m v^2 / r(t) \)。将 \( v = v_0 \frac{r_0}{r(t)} \) 代入，得 \( F(t) = m \left( v_0 \frac{r_0}{r(t)} \right)^2 / r(t) = m v_0^2 \frac{r_0^2}{(r_0 - u t)^3} \)。