题目
质量为m、电荷为-e的电子以圆轨道绕静止的氢原子核旋转，其轨道半径为r，旋转频率为gamma ，动能为E, |则下列几种关系中正确的是( )A、E=(e)over(8pi {ε)_(0) r} B、E=(e^2)over(4pi {ε)_(0) r} C、(gamma )^2 =(32{ε)_(0)(E)^3 }over(m{e)^2 } D、(gamma )^2 =(32{ε)_(0)^2(E)^3 }over(m{e)^4 }
质量为m、电荷为-e的电子以圆轨道绕静止的氢原子核旋转，其轨道半径为r，旋转频率为$$\gamma $$，动能为E, |则下列几种关系中正确的是( )
A、E=$${e}\over{8\pi {ε}_{0} r} $$
B、E=$${e^2}\over{4\pi {ε}_{0} r} $$
C、$${\gamma }^{2} $$=$${32{ε}_{0}{E}^{3} }\over{m{e}^{2} } $$
D、$${\gamma }^{2} $$=$${32{ε}_{0}^2{E}^{3} }\over{m{e}^{4} } $$
题目解答
答案
D
解析
步骤 1：确定电子的动能
电子绕氢原子核旋转的动能E可以通过库仑力和向心力的平衡来确定。库仑力提供向心力，使电子绕核旋转。库仑力的大小为$$F_{C} = {e^2}\over{4\pi {ε}_{0} r^2}$$，向心力的大小为$$F_{C} = {mv^2}\over{r}$$。由于电子的动能E为$$E = {1\over2}mv^2$$，可以将向心力的表达式代入动能的表达式中，得到$$E = {1\over2}F_{C}r = {1\over2}({e^2}\over{4\pi {ε}_{0} r^2})r = {e^2}\over{8\pi {ε}_{0} r}$$。因此，选项A和B都不正确。
步骤 2：确定旋转频率
旋转频率$$\gamma$$可以通过电子的角速度$$\omega$$来确定，$$\gamma = \omega\over{2\pi}$$。角速度$$\omega$$可以通过向心力的表达式来确定，$$F_{C} = m\omega^2r$$。将库仑力的表达式代入，得到$$\omega^2 = {e^2}\over{4\pi {ε}_{0} m r^3}$$。因此，$$\gamma^2 = {\omega^2}\over{4\pi^2} = {e^2}\over{16\pi^2 {ε}_{0} m r^3}$$。将动能E的表达式代入，得到$$\gamma^2 = {32{ε}_{0}^2{E}^{3} }\over{m{e}^{4} }$$。因此，选项C不正确，选项D正确。
电子绕氢原子核旋转的动能E可以通过库仑力和向心力的平衡来确定。库仑力提供向心力，使电子绕核旋转。库仑力的大小为$$F_{C} = {e^2}\over{4\pi {ε}_{0} r^2}$$，向心力的大小为$$F_{C} = {mv^2}\over{r}$$。由于电子的动能E为$$E = {1\over2}mv^2$$，可以将向心力的表达式代入动能的表达式中，得到$$E = {1\over2}F_{C}r = {1\over2}({e^2}\over{4\pi {ε}_{0} r^2})r = {e^2}\over{8\pi {ε}_{0} r}$$。因此，选项A和B都不正确。
步骤 2：确定旋转频率
旋转频率$$\gamma$$可以通过电子的角速度$$\omega$$来确定，$$\gamma = \omega\over{2\pi}$$。角速度$$\omega$$可以通过向心力的表达式来确定，$$F_{C} = m\omega^2r$$。将库仑力的表达式代入，得到$$\omega^2 = {e^2}\over{4\pi {ε}_{0} m r^3}$$。因此，$$\gamma^2 = {\omega^2}\over{4\pi^2} = {e^2}\over{16\pi^2 {ε}_{0} m r^3}$$。将动能E的表达式代入，得到$$\gamma^2 = {32{ε}_{0}^2{E}^{3} }\over{m{e}^{4} }$$。因此，选项C不正确，选项D正确。