一质点作简谐振动，其振动方程为=6.0times (10)^-2cos (dfrac (1)(3)pi t-dfrac (1)(4)pi )(SI)（1）当=6.0times (10)^-2cos (dfrac (1)(3)pi t-dfrac (1)(4)pi )(SI)值为多大时，系统的势能为总能量的一半？（2）质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？

考查要点：本题主要考查简谐振动中势能与位移的关系，以及振动相位变化对应的时间计算。

解题思路：

1. 第一问：利用简谐振动的势能公式，结合总能量与势能的关系，推导出位移的表达式。
2. 第二问：通过分析振动相位的变化，确定质点从平衡位置到目标位置的最短时间。

关键点：

• 势能与位移关系：势能为总能量的一半时，位移为振幅的$\frac{1}{\sqrt{2}}$倍。
• 相位分析：平衡位置对应相位为$\frac{\pi}{2}$或$\frac{3\pi}{2}$，目标位置对应相位为$\pm\frac{\pi}{4}$，计算相位差对应的时间。

（1）当系统的势能为总能量的一半时，位移$x$的值

总能量与势能关系

总能量$E = \frac{1}{2}kA^2$，势能$E_p = \frac{1}{2}kx^2$。当$E_p = \frac{E}{2}$时：
$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}kA^2 \implies x^2 = \frac{A^2}{2} \implies x = \pm\frac{A}{\sqrt{2}}.$

代入振幅

题目中振幅$A = 6.0 \times 10^{-2}\ \text{m}$，因此：
$x = \pm\frac{6.0 \times 10^{-2}}{\sqrt{2}} = \pm3\sqrt{2} \times 10^{-2}\ \text{m}.$

（2）质点从平衡位置移动到上述位置的最短时间

平衡位置的相位

平衡位置对应$x = 0$，此时相位为$\frac{\pi}{2}$或$\frac{3\pi}{2}$。

目标位置的相位

当$x = \pm\frac{A}{\sqrt{2}}$时，相位为$\pm\frac{\pi}{4}$。

相位差与时间计算

假设质点从平衡位置的相位$\frac{3\pi}{2}$出发，到达相位$\frac{7\pi}{4}$（对应$x = +\frac{A}{\sqrt{2}}$），相位差为：
$\Delta\theta = \frac{7\pi}{4} - \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.$
角频率$\omega = \frac{\pi}{3}$，最短时间为：
$\Delta t = \frac{\Delta\theta}{\omega} = \frac{\pi/4}{\pi/3} = 0.75\ \text{s}.$