题目
θ一段半径为a的细圆弧,对圆心的张角为θ0,其上均匀分布有正电荷 q,如图所示,试以a, q, θ0表示出圆心O处的电场强度。
一段半径为a的细圆弧,对圆心的张角为θ0,其上均匀分布有正电荷 q,如图所示,试以a, q, θ0表示出圆心O处的电场强度。题目解答
答案
解:建立如图坐标系,在细圆弧上取电荷元
,
,电荷元视为点电荷,它在圆心处产生的场强大小为:
方向如图所示。将
分解,
分解,
由对称性分析可知,
圆心O处的电场强度
解析
步骤 1：建立坐标系和电荷元
在细圆弧上取电荷元$dq=\dfrac {q}{a{\theta }_{0}}\cdot dI$，其中$dI$是电荷元的弧长。电荷元视为点电荷，它在圆心处产生的场强大小为：$dE=\dfrac {dq}{4\pi {\varepsilon }_{0}{a}^{2}}=\dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{a}^{3}{\theta }_{0}}dI=\dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{a}^{2}{\theta }_{0}}d\theta$，方向如图所示。
步骤 2：分解电场强度
将$dE$分解为$x$和$y$两个方向的分量，$d{E}_{x}=dE\sin \theta$，$d{E}_{y}=-dE\cos \theta$。由对称性分析可知，$E_{x}=\int d{E}_{x}=0$，因为$x$方向的分量相互抵消。
步骤 3：计算$y$方向的电场强度
$E_{y}={\int }_{d{E}_{y}}={\int }_{-{\theta }_{0}/2}^{{\theta }_{0}/2}-\dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{a}^{2}{\theta }_{0}}\cos \theta d\theta$ $=-\dfrac {q}{2\pi {\varepsilon }_{0}{a}^{2}{\theta }_{0}}\sin \dfrac {{\theta }_{0}}{2}$
在细圆弧上取电荷元$dq=\dfrac {q}{a{\theta }_{0}}\cdot dI$，其中$dI$是电荷元的弧长。电荷元视为点电荷，它在圆心处产生的场强大小为：$dE=\dfrac {dq}{4\pi {\varepsilon }_{0}{a}^{2}}=\dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{a}^{3}{\theta }_{0}}dI=\dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{a}^{2}{\theta }_{0}}d\theta$，方向如图所示。
步骤 2：分解电场强度
将$dE$分解为$x$和$y$两个方向的分量，$d{E}_{x}=dE\sin \theta$，$d{E}_{y}=-dE\cos \theta$。由对称性分析可知，$E_{x}=\int d{E}_{x}=0$，因为$x$方向的分量相互抵消。
步骤 3：计算$y$方向的电场强度
$E_{y}={\int }_{d{E}_{y}}={\int }_{-{\theta }_{0}/2}^{{\theta }_{0}/2}-\dfrac {q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{a}^{2}{\theta }_{0}}\cos \theta d\theta$ $=-\dfrac {q}{2\pi {\varepsilon }_{0}{a}^{2}{\theta }_{0}}\sin \dfrac {{\theta }_{0}}{2}$