11-14 如图所示,有一劲度系数为k的轻质弹簧竖直放置,一端固定在水平面上,另一端连接一质量为-|||-M的光滑平板,平板上又放置一质量为m的光滑小物块。今有一质量为m0的子弹以速度v0水平射入物块,-|||-并与物块一起脱离平板。(1)证明物块脱离平板后,平板将做简谐振动;(2)根据平板所处的初始条件,写出-|||-平板的谐振位移表示式。-|||-m-|||-M-|||-3-|||-7 m-|||-习题 11-14 图

考查要点：本题主要考查简谐振动的判定条件及振动方程的建立，涉及动量守恒、胡克定律和简谐振动的动力学特征。

解题核心思路：

1. 简谐振动的判定：需证明平板的运动满足简谐振动的微分方程 $\dfrac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x$，其中回复力与位移成正比且方向相反。
2. 振动方程的建立：根据初始条件确定振幅和初相，结合简谐振动的通解形式 $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$，代入初始位移和速度求解。

破题关键点：

• 分离系统：物块脱离后，平板仅受弹簧弹力作用，系统等效为单个质点（质量 $M$）与弹簧组成的简谐振子。
• 初始条件：物块脱离瞬间，平板的位移由物块和子弹的重力共同压缩弹簧形成，速度为 $0$，初相 $\phi = \pi$。

第（1）题

受力分析

物块脱离后，平板仅受弹簧弹力 $F = -kx$，根据牛顿第二定律：
$M \dfrac{d^2x}{dt^2} = -kx$

微分方程形式

整理得：
$\dfrac{d^2x}{dt^2} = -\dfrac{k}{M}x$
令 $\omega^2 = \dfrac{k}{M}$，方程变为：
$\dfrac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x$
此即简谐振动的微分方程，故平板做简谐振动。

第（2）题

初始位移分析

物块和子弹脱离时，弹簧的压缩量由重力平衡决定。此时平板的位移为：
$x_0 = \dfrac{(m + m_0)g}{k}$

初始速度分析

脱离瞬间，平板速度为 $0$，故初相 $\phi = \pi$（对应余弦函数的初始相位）。

振动方程

简谐振动通解为：
$x(t) = x_0 \cos(\omega t + \phi)$
代入初始条件得：
$x(t) = \dfrac{(m + m_0)g}{k} \cos\left(\sqrt{\dfrac{k}{M}} t + \pi\right)$