题目
3.24 有一从水箱引水的管道,如图所示。等直径管段ABC的直径 _(1)=20cm, 收-|||-缩段CD末端直径 _(2)=10cm, 图中高差 h=5.0m =25m, 管段AB、BC、CD的水-|||-头损失分别为 _(Delta AB)=2dfrac ({v)^2}(2g), _(Delta BC)=0.8dfrac ({v)^2}(2g), _(wCD)=0.2dfrac ({v)^2}(2g) (v为管段A ABC中流速),求-|||-通过管道的流量及断面 3-3 中心的动水压强p3。-|||-3-|||-B- d2-|||-C-|||-AO- 0-|||-2
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定能量方程
根据伯努利方程，从水箱到管道末端的总能量守恒，可以写出能量方程。考虑到水箱的水位高度为H，管道末端的水位高度为H-h，以及各段管道的水头损失，能量方程可以表示为：
\[ H = \frac{{\alpha_2 v_2^2}}{2g} + h_{wAB} + h_{wBC} + h_{wCD} \]
其中，$\alpha_2$ 是动能修正系数，$v_2$ 是管道末端的流速，$h_{wAB}$、$h_{wBC}$、$h_{wCD}$ 分别是AB、BC、CD段的水头损失。
步骤 2：计算管道末端的流速
根据题意，$h_{wAB} = 2\frac{v^2}{2g}$，$h_{wBC} = 0.8\frac{v^2}{2g}$，$h_{wCD} = 0.2\frac{v^2}{2g}$，其中$v$是管道ABC段的流速。由于管道ABC段和CD段的直径不同，根据连续性方程，$v_2 = 4v$。将这些值代入能量方程中，可以解出$v$。
\[ 25 = \frac{16v^2}{2g} + 2\frac{v^2}{2g} + 0.8\frac{v^2}{2g} + 0.2\frac{v^2}{2g} \]
\[ 25 = 19\frac{v^2}{2g} \]
\[ \frac{v^2}{2g} = \frac{25}{19} = 1.32 \]
\[ v = \sqrt{1.32 \times 2 \times 9.81} = 5.09 \, \text{m/s} \]
步骤 3：计算流量
根据流量公式$Q = vA$，其中$A$是管道的横截面积，可以计算出流量。
\[ Q = v \frac{\pi d_1^2}{4} = 5.09 \times \frac{3.14 \times 0.2^2}{4} = 0.16 \, \text{m}^3/\text{s} \]
步骤 4：计算断面3-3中心的动水压强
根据伯努利方程，从断面3-3到断面2-2的能量方程可以表示为：
\[ (H-h) + \frac{p_3}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} = \frac{v_2^2}{2g} + \frac{v^2}{2g} \]
代入已知数据，可以解出$p_3$。
\[ 20 + \frac{p_3}{\rho g} = 16 \times 1.32 \]
\[ p_3 = \rho g (16 \times 1.32 - 20) = 98.10 \times 1.12 = 10.98 \, \text{kPa} \]
根据伯努利方程，从水箱到管道末端的总能量守恒，可以写出能量方程。考虑到水箱的水位高度为H，管道末端的水位高度为H-h，以及各段管道的水头损失，能量方程可以表示为：
\[ H = \frac{{\alpha_2 v_2^2}}{2g} + h_{wAB} + h_{wBC} + h_{wCD} \]
其中，$\alpha_2$ 是动能修正系数，$v_2$ 是管道末端的流速，$h_{wAB}$、$h_{wBC}$、$h_{wCD}$ 分别是AB、BC、CD段的水头损失。
步骤 2：计算管道末端的流速
根据题意，$h_{wAB} = 2\frac{v^2}{2g}$，$h_{wBC} = 0.8\frac{v^2}{2g}$，$h_{wCD} = 0.2\frac{v^2}{2g}$，其中$v$是管道ABC段的流速。由于管道ABC段和CD段的直径不同，根据连续性方程，$v_2 = 4v$。将这些值代入能量方程中，可以解出$v$。
\[ 25 = \frac{16v^2}{2g} + 2\frac{v^2}{2g} + 0.8\frac{v^2}{2g} + 0.2\frac{v^2}{2g} \]
\[ 25 = 19\frac{v^2}{2g} \]
\[ \frac{v^2}{2g} = \frac{25}{19} = 1.32 \]
\[ v = \sqrt{1.32 \times 2 \times 9.81} = 5.09 \, \text{m/s} \]
步骤 3：计算流量
根据流量公式$Q = vA$，其中$A$是管道的横截面积，可以计算出流量。
\[ Q = v \frac{\pi d_1^2}{4} = 5.09 \times \frac{3.14 \times 0.2^2}{4} = 0.16 \, \text{m}^3/\text{s} \]
步骤 4：计算断面3-3中心的动水压强
根据伯努利方程，从断面3-3到断面2-2的能量方程可以表示为：
\[ (H-h) + \frac{p_3}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} = \frac{v_2^2}{2g} + \frac{v^2}{2g} \]
代入已知数据，可以解出$p_3$。
\[ 20 + \frac{p_3}{\rho g} = 16 \times 1.32 \]
\[ p_3 = \rho g (16 \times 1.32 - 20) = 98.10 \times 1.12 = 10.98 \, \text{kPa} \]