7-21 有一列沿x轴正方向传播的平面简谐波,-|||-其波速为 =1m/s, 波长 lambda =0.04m, 振幅 =0.03m.-|||-若以坐标原点恰在平衡位置且向y轴负方向运动时作-|||-为开始时刻,试求:-|||-(1)此平面简谐波的波动方程;-|||-(2)与波源相距 x=0.01m 处质点的振动方程,-|||-该点的初相位是多少?

考查要点：本题主要考查平面简谐波的波动方程和质点振动方程的建立，以及初相位的确定。
解题核心思路：

1. 波动方程的形式：根据波的传播方向、波速、波长、振幅等参数，确定波数$k$和角频率$\omega$，结合初始条件确定初相位$\varphi$。
2. 质点振动方程：将特定位置的$x$代入波动方程，化简后得到该质点的振动方程，并分析初相位。
   破题关键点：

• 初始条件的应用：原点在平衡位置且向$y$轴负方向运动，需通过速度方向确定初相位的正确取值。
• 相位关系的简化：在求解质点振动方程时，注意空间项与时间项的抵消，简化相位表达式。

(1) 平面简谐波的波动方程

步骤1：确定波数$k$和角频率$\omega$

• 波数：$k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{0.04} = 50\pi \, \text{rad/m}$
• 角频率：$\omega = u k = 1 \times 50\pi = 50\pi \, \text{rad/s}$

步骤2：建立波动方程形式
波沿$x$轴正方向传播，波动方程一般形式为：
$y = A \cos(\omega t - kx + \varphi)$

步骤3：应用初始条件确定初相位$\varphi$

• 初始位置：$t=0, x=0$时，$y=0$，代入方程得：
  $\cos(\varphi) = 0 \implies \varphi = \dfrac{\pi}{2} \, \text{或} \, \dfrac{3\pi}{2}$
• 速度方向：质点向$y$轴负方向运动，速度为：
  $\dfrac{dy}{dt} = -A\omega \sin(\omega t - kx + \varphi)$
  当$t=0, x=0$时，速度为负，故：
  $-\sin(\varphi) < 0 \implies \sin(\varphi) > 0 \implies \varphi = \dfrac{\pi}{2}$

波动方程：
$y = 0.03 \cos\left[50\pi(t - x) + \dfrac{\pi}{2}\right]$

(2) 质点的振动方程与初相位

步骤1：代入$x=0.01 \, \text{m}$
将$x=0.01$代入波动方程：
$\begin{aligned}y &= 0.03 \cos\left[50\pi(t - 0.01) + \dfrac{\pi}{2}\right] \\&= 0.03 \cos\left(50\pi t - 50\pi \cdot 0.01 + \dfrac{\pi}{2}\right) \\&= 0.03 \cos\left(50\pi t - \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2}\right) \\&= 0.03 \cos(50\pi t)\end{aligned}$

步骤2：确定初相位
振动方程为$y = 0.03 \cos(50\pi t)$，初相位为$0$。