12.12（1）求在相同的T、p条件下，单位质量的氢气与氦气的内能之比。(2)求在相同的T、p条件下,单位体积的氢气与氦气的内能之比。

步骤 1：单位质量的内能计算
根据理想气体的内能公式$U = \frac{m}{M} \frac{i}{2} RT$，其中$m$是气体的质量，$M$是摩尔质量，$i$是自由度，$R$是理想气体常数，$T$是温度。对于氢气（$H_2$）和氦气（$He$），它们的自由度分别是5和3，因为氢气是双原子分子，氦气是单原子分子。摩尔质量分别是$M_{H_2} = 2 \times 10^{-3} kg/mol$和$M_{He} = 4 \times 10^{-3} kg/mol$。因此，单位质量的内能可以表示为：
- 氢气：$U_{H_2} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} \times \frac{5}{2} RT$
- 氦气：$U_{He} = \frac{1}{4 \times 10^{-3}} \times \frac{3}{2} RT$

步骤 2：计算内能之比
将上述单位质量的内能表达式代入内能之比的计算中，得到：
$\frac{U_{H_2}}{U_{He}} = \frac{\frac{1}{2 \times 10^{-3}} \times \frac{5}{2} RT}{\frac{1}{4 \times 10^{-3}} \times \frac{3}{2} RT} = \frac{10}{3}$

步骤 3：单位体积的内能计算
在相同的温度和压力条件下，根据理想气体状态方程$PV = nRT$，可以知道单位体积的摩尔数$n/V$是相同的。因此，单位体积的内能可以表示为：
- 氢气：$U_{H_2} = n_{H_2} \frac{5}{2} RT$
- 氦气：$U_{He} = n_{He} \frac{3}{2} RT$
由于$n_{H_2} = n_{He}$，所以单位体积的内能之比为：
$\frac{U_{H_2}}{U_{He}} = \frac{n_{H_2} \frac{5}{2} RT}{n_{He} \frac{3}{2} RT} = \frac{5}{3}$