题目
如图所示，一个半径为R的圆环水平地固定在一光滑桌面上，质量为m的质点在桌面上沿圆环的内壁运动，已知质点与环壁间的摩擦因数为μ，质点开始运动的速率为(v)_(0) ，试求质点在任一时刻的速率.
如图所示，一个半径为$$R$$的圆环水平地固定在一光滑桌面上，质量为$$m$$的质点在桌面上沿圆环的内壁运动，已知质点与环壁间的摩擦因数为$$μ$$，质点开始运动的速率为$${v}_{0} $$，试求质点在任一时刻的速率.
题目解答
答案
水平方向上小球受支持力和摩擦力
则切向方向有$$f=m{a}_{t} =m{{dv}\over{dt} }$$
法向方向有$$N=m{a}_{n} =m{{{v}^{2} }\over{R} }$$，$$f=μN$$
联立得$$μ{{{v}^{2} }\over{R} }={{dv}\over{dt} }$$，$$\int_{v}^{0}{{{dv}\over{{v}^{2} } }}\ =\int_{t}^{0}{{{μ}\over{R} }}\,\rm{d}t$$
解得:$$v={{{v}_{0}R }\over{{v}_{0} μt-R} }$$
解析
步骤 1：确定质点的受力情况
质点在桌面上沿圆环的内壁运动，水平方向上受到支持力和摩擦力。支持力垂直于运动方向，摩擦力沿切线方向，阻碍质点的运动。
步骤 2：建立切向和法向方向的运动方程
切向方向：摩擦力提供切向加速度，$$f=m{a}_{t} =m{{dv}\over{dt} }$$
法向方向：支持力提供法向加速度，$$N=m{a}_{n} =m{{{v}^{2} }\over{R} }$$
摩擦力与支持力的关系：$$f=μN$$
步骤 3：联立运动方程求解速率
联立切向和法向方向的运动方程，得到$$μ{{{v}^{2} }\over{R} }={{dv}\over{dt} }$$，这是一个一阶非线性微分方程。通过分离变量法求解，得到$$\int_{v}^{0}{{{dv}\over{{v}^{2} } }}\ =\int_{t}^{0}{{{μ}\over{R} }}\,\rm{d}t$$，解得$$v={{{v}_{0}R }\over{{v}_{0} μt-R} }$$。
质点在桌面上沿圆环的内壁运动，水平方向上受到支持力和摩擦力。支持力垂直于运动方向，摩擦力沿切线方向，阻碍质点的运动。
步骤 2：建立切向和法向方向的运动方程
切向方向：摩擦力提供切向加速度，$$f=m{a}_{t} =m{{dv}\over{dt} }$$
法向方向：支持力提供法向加速度，$$N=m{a}_{n} =m{{{v}^{2} }\over{R} }$$
摩擦力与支持力的关系：$$f=μN$$
步骤 3：联立运动方程求解速率
联立切向和法向方向的运动方程，得到$$μ{{{v}^{2} }\over{R} }={{dv}\over{dt} }$$，这是一个一阶非线性微分方程。通过分离变量法求解，得到$$\int_{v}^{0}{{{dv}\over{{v}^{2} } }}\ =\int_{t}^{0}{{{μ}\over{R} }}\,\rm{d}t$$，解得$$v={{{v}_{0}R }\over{{v}_{0} μt-R} }$$。