如图所示，一个半径为R的圆环水平地固定在一光滑桌面上，质量为m的质点在桌面上沿圆环的内壁运动，已知质点与环壁间的摩擦因数为μ，质点开始运动的速率为(v)_(0) ，试求质点在任一时刻的速率.
如图所示，一个半径为$$R$$的圆环水平地固定在一光滑桌面上，质量为$$m$$的质点在桌面上沿圆环的内壁运动，已知质点与环壁间的摩擦因数为$$μ$$，质点开始运动的速率为$${v}_{0} $$，试求质点在任一时刻的速率.
题目解答
答案
水平方向上小球受支持力和摩擦力
则切向方向有$$f=m{a}_{t} =m{{dv}\over{dt} }$$
法向方向有$$N=m{a}_{n} =m{{{v}^{2} }\over{R} }$$，$$f=μN$$
联立得$$μ{{{v}^{2} }\over{R} }={{dv}\over{dt} }$$，$$\int_{v}^{0}{{{dv}\over{{v}^{2} } }}\ =\int_{t}^{0}{{{μ}\over{R} }}\,\rm{d}t$$
解得:$$v={{{v}_{0}R }\over{{v}_{0} μt-R} }$$
解析
考查要点：本题主要考查圆周运动中的动力学问题，涉及摩擦力的分析及微分方程的求解。
解题核心思路：
- 受力分析：质点在圆环内壁运动时，受法向支持力和切向摩擦力。
- 动力学方程：利用牛顿第二定律分别写出切向和法向方向的运动方程。
- 微分方程建立与求解：通过切向方向的方程得到速率随时间变化的微分方程，并通过分离变量法求解。
破题关键点：
- 摩擦力方向：切向摩擦力始终与速度方向相反，导致速率逐渐减小。
- 符号处理：正确处理微分方程中的负号，确保积分上下限合理。
受力分析
质点在圆环内壁运动时，受两个力：
- 法向支持力 $N$：提供向心力，大小为 $N = \frac{mv^2}{R}$。
- 切向摩擦力 $f$：大小为 $f = \mu N = \mu \frac{mv^2}{R}$，方向与速度方向相反。
切向方向动力学方程
根据牛顿第二定律，切向加速度为：
$f = m \frac{dv}{dt} \implies \mu \frac{mv^2}{R} = -m \frac{dv}{dt}$
消去质量 $m$ 并整理得：
$\frac{dv}{dt} = -\frac{\mu}{R} v^2$
微分方程求解
分离变量并积分：
$\int_{v_0}^{v} \frac{dv'}{v'^2} = -\int_{0}^{t} \frac{\mu}{R} dt'$
计算积分：
$\left[ -\frac{1}{v'} \right]_{v_0}^{v} = -\frac{\mu}{R} t \implies -\frac{1}{v} + \frac{1}{v_0} = -\frac{\mu t}{R}$
整理得：
$v = \frac{v_0 R}{R + v_0 \mu t}$
关键结论：
- 速率随时间单调递减，最终趋近于 $0$。
- 分母为 $R + v_0 \mu t$，保证物理量合理性。