题目
5-18 设在半径为R的球体内,其电荷对称分布,-|||-电荷体密度为-|||- 0≤r≤R r>R -|||- ρ=kr, ρ=0, -|||-式中k为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求-|||-电场强度E与r的函数关系.
题目解答
答案
解析
步骤 1：高斯定理求解电场强度
根据高斯定理，通过一个闭合曲面的电通量等于该闭合曲面内包含的电荷量除以真空介电常数。对于球对称的电荷分布，选择一个半径为r的球形高斯面，其内部包含的电荷量为：
$$ Q_{\text{enc}} = \int_{0}^{r} \rho(r') 4\pi r'^2 dr' = \int_{0}^{r} kr' 4\pi r'^2 dr' = 4\pi k \int_{0}^{r} r'^3 dr' = 4\pi k \frac{r^4}{4} = \pi k r^4 $$
步骤 2：计算电场强度
根据高斯定理，通过高斯面的电通量等于电场强度E与高斯面的面积的乘积，即：
$$ \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} $$
对于球形高斯面，电场强度E与高斯面的面积的乘积为：
$$ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{\pi k r^4}{\varepsilon_0} $$
解得电场强度E为：
$$ E = \frac{k r^2}{4 \varepsilon_0} $$
步骤 3：电场叠加原理求解电场强度
根据电场叠加原理，球体内的电场强度可以看作是由球体内的所有电荷元产生的电场强度的矢量和。对于球体内的任意一点，其电场强度为：
$$ E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int_{0}^{R} \frac{\rho(r') 4\pi r'^2 dr'}{r^2} = \frac{k}{4\pi \varepsilon_0} \int_{0}^{R} \frac{r'^3 dr'}{r^2} = \frac{k}{4\pi \varepsilon_0} \frac{R^4}{r^2} $$
根据高斯定理，通过一个闭合曲面的电通量等于该闭合曲面内包含的电荷量除以真空介电常数。对于球对称的电荷分布，选择一个半径为r的球形高斯面，其内部包含的电荷量为：
$$ Q_{\text{enc}} = \int_{0}^{r} \rho(r') 4\pi r'^2 dr' = \int_{0}^{r} kr' 4\pi r'^2 dr' = 4\pi k \int_{0}^{r} r'^3 dr' = 4\pi k \frac{r^4}{4} = \pi k r^4 $$
步骤 2：计算电场强度
根据高斯定理，通过高斯面的电通量等于电场强度E与高斯面的面积的乘积，即：
$$ \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} $$
对于球形高斯面，电场强度E与高斯面的面积的乘积为：
$$ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{\pi k r^4}{\varepsilon_0} $$
解得电场强度E为：
$$ E = \frac{k r^2}{4 \varepsilon_0} $$
步骤 3：电场叠加原理求解电场强度
根据电场叠加原理，球体内的电场强度可以看作是由球体内的所有电荷元产生的电场强度的矢量和。对于球体内的任意一点，其电场强度为：
$$ E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int_{0}^{R} \frac{\rho(r') 4\pi r'^2 dr'}{r^2} = \frac{k}{4\pi \varepsilon_0} \int_{0}^{R} \frac{r'^3 dr'}{r^2} = \frac{k}{4\pi \varepsilon_0} \frac{R^4}{r^2} $$