设在半径为 R 的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为 rho = kr (0 leq r leq R)，rho = 0 (r > R)，k 为一常量。试用高斯定理求电场强度 E 与 r 的函数关系

考查要点：本题主要考查高斯定理在对称电荷分布中的应用，涉及电场强度的计算。
解题核心思路：

1. 利用对称性选择高斯面：由于电荷分布具有球对称性，选取以$r$为半径的同心球面作为高斯面。
2. 分区域讨论：根据电荷分布的范围（$r \leq R$和$r > R$），分别计算电场强度。
3. 计算包围电荷量：对内部区域，积分电荷密度得到高斯面内的总电荷；对外部区域，积分整个球体的电荷。
   关键点：

• 电荷密度的积分：注意$\rho = kr$的线性分布特性，正确计算不同区域的总电荷量。
• 高斯定理的公式变形：将通量公式转化为电场强度的表达式。

当 $0 \leq r \leq R$ 时

计算包围电荷量

高斯面内的总电荷量为：
$Q_{\text{enc}} = \int_0^r \rho(r') \cdot 4\pi r'^2 \, dr' = \int_0^r kr' \cdot 4\pi r'^2 \, dr' = 4\pi k \int_0^r r'^3 \, dr' = \pi k r^4$

应用高斯定理

高斯面的面积为$4\pi r^2$，由高斯定理：
$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} = \frac{\pi k r^4}{\varepsilon_0}$
解得：
$E(r) = \frac{k r^2}{4\varepsilon_0}$

当 $r > R$ 时

计算总电荷量

整个球体的总电荷量为：
$Q_{\text{total}} = \int_0^R kr \cdot 4\pi r^2 \, dr = 4\pi k \int_0^R r^3 \, dr = \pi k R^4$

应用高斯定理

高斯面的面积为$4\pi r^2$，由高斯定理：
$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{total}}}{\varepsilon_0} = \frac{\pi k R^4}{\varepsilon_0}$
解得：
$E(r) = \frac{k R^4}{4\varepsilon_0 r^2}$