如图所示，一半径为R，长度为L的均匀带电圆柱面，总电荷为Q。试求端面处轴线上P点的电场强度。

考查要点：本题主要考查均匀带电圆柱面对称性下的电场强度计算，需要掌握电场叠加原理和环形电荷在轴线上某点的场强公式的应用。

解题核心思路：

1. 对称性分析：利用圆柱面对称性，将圆柱面分割为多个同轴圆环，每个圆环在轴线上产生的场强方向相同，可直接积分叠加。
2. 微元法：将圆柱面沿轴线方向分割为宽度为$dx$的圆环，计算每个圆环在端点P处的场强$dE$。
3. 积分求和：通过变量代换简化积分过程，最终得到总场强$E$。

破题关键点：

• 正确写出圆环电荷$dq$的表达式（与$x$相关）。
• 应用环形电荷场强公式，注意圆环到P点的距离为$(L-x)$。
• 积分变量代换，将积分转化为关于$u=R^2+(L-x)^2$的形式，简化计算。

坐标系与微元分析

以圆柱面左端面为坐标原点$O$，$x$轴沿轴线向右延伸。在距离$O$为$x$处取宽度为$dx$的圆环，其电荷量为：
$dq = \frac{Q}{L} dx$

单个圆环的场强贡献

圆环在P点（坐标$x=L$）的场强大小为：
$dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{dq \cdot (L-x)}{[R^2 + (L-x)^2]^{3/2}}$
代入$dq$表达式得：
$dE = \frac{Q(L-x)dx}{4\pi \varepsilon_0 L [R^2 + (L-x)^2]^{3/2}}$

积分求总场强

总场强为所有圆环场强的积分：
$E = \int_0^L dE = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 L} \int_0^L \frac{(L-x)dx}{[R^2 + (L-x)^2]^{3/2}}$
变量代换：令$u = R^2 + (L-x)^2$，则$du = -2(L-x)dx$，积分上下限变为$u=R^2+L^2$到$u=R^2$。
积分化简为：
$E = \frac{Q}{8\pi \varepsilon_0 L} \int_{R^2}^{R^2+L^2} \frac{du}{u^{3/2}}$
计算得：
$E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 L} \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + L^2}} \right)$
方向：所有圆环的场强方向沿$x$轴正向。