题目
5-20 两个同频率简谐运动1和2的振动曲线如图所示,求(1)两简谐运动的运动方-|||-程x1和x2;(2)在同一图中画出两简谐运动的旋转矢量,并比较两振动的相位关系;(3)若-|||-两简谐运动叠加,求合振动的运动方程.-|||-↑x/(1.0×10^(-2)m)-|||-10-|||-1-|||-5 2-|||-0 1 2 t/s-|||-习题 5-20 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定简谐运动的振幅和周期
从图中可以看出，两个简谐运动的振幅均为 $0.1 \times 10^{-2} \text{m} = 0.001 \text{m}$。周期 $T$ 可以从图中看出为 $2 \text{s}$，因此角频率 $\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi \text{rad/s}$。
步骤 2：确定简谐运动的初相位
从图中可以看出，简谐运动1在 $t=0$ 时的位移为 $0$，速度为正，因此初相位为 $-\pi/2$。简谐运动2在 $t=0$ 时的位移为 $0.001 \text{m}$，速度为负，因此初相位为 $\pi/3$。
步骤 3：写出简谐运动的运动方程
根据简谐运动的运动方程 $x = A \cos(\omega t + \phi)$，可以写出两个简谐运动的运动方程：
${x}_{1} = 0.001 \cos(\pi t - \pi/2)$
${x}_{2} = 0.001 \cos(\pi t + \pi/3)$
步骤 4：画出旋转矢量图
旋转矢量图中，简谐运动1的旋转矢量在 $t=0$ 时指向负y轴，简谐运动2的旋转矢量在 $t=0$ 时指向正x轴。因此，简谐运动2比简谐运动1超前 $5\pi/6$。
步骤 5：求合振动的运动方程
将两个简谐运动的运动方程相加，得到合振动的运动方程：
$x = {x}_{1} + {x}_{2} = 0.001 \cos(\pi t - \pi/2) + 0.001 \cos(\pi t + \pi/3)$
利用三角函数的和差化积公式，可以得到：
$x = 0.001 \times 2 \cos(\pi t - \pi/12) \cos(\pi/4)$
化简得到：
$x = 0.001 \times \sqrt{2} \cos(\pi t - \pi/12)$
化简得到：
$x = 0.00052 \cos(\pi t - \pi/12)$
从图中可以看出，两个简谐运动的振幅均为 $0.1 \times 10^{-2} \text{m} = 0.001 \text{m}$。周期 $T$ 可以从图中看出为 $2 \text{s}$，因此角频率 $\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi \text{rad/s}$。
步骤 2：确定简谐运动的初相位
从图中可以看出，简谐运动1在 $t=0$ 时的位移为 $0$，速度为正，因此初相位为 $-\pi/2$。简谐运动2在 $t=0$ 时的位移为 $0.001 \text{m}$，速度为负，因此初相位为 $\pi/3$。
步骤 3：写出简谐运动的运动方程
根据简谐运动的运动方程 $x = A \cos(\omega t + \phi)$，可以写出两个简谐运动的运动方程：
${x}_{1} = 0.001 \cos(\pi t - \pi/2)$
${x}_{2} = 0.001 \cos(\pi t + \pi/3)$
步骤 4：画出旋转矢量图
旋转矢量图中，简谐运动1的旋转矢量在 $t=0$ 时指向负y轴，简谐运动2的旋转矢量在 $t=0$ 时指向正x轴。因此，简谐运动2比简谐运动1超前 $5\pi/6$。
步骤 5：求合振动的运动方程
将两个简谐运动的运动方程相加，得到合振动的运动方程：
$x = {x}_{1} + {x}_{2} = 0.001 \cos(\pi t - \pi/2) + 0.001 \cos(\pi t + \pi/3)$
利用三角函数的和差化积公式，可以得到：
$x = 0.001 \times 2 \cos(\pi t - \pi/12) \cos(\pi/4)$
化简得到：
$x = 0.001 \times \sqrt{2} \cos(\pi t - \pi/12)$
化简得到：
$x = 0.00052 \cos(\pi t - \pi/12)$