题目
例6.3试求阿特伍德机两侧悬挂的质量分别为m1,m2的重物时的加速-|||-度、滑轮的角加速度及绳中的张力,如图6.10所示.已-|||-知滑轮半径为R,质量为m,假定绳为不可伸缩的轻绳,-|||-绳与滑轮间无滑动,且滑轮轴处的摩擦可忽略不计.-|||-↑FN-|||-=-|||-α-|||-R-|||-o-|||-、-|||-F FF-|||-g-|||-Fn2 FT1-|||-a-|||-、-|||-m2g mg-|||-图6.10
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定研究对象
选取研究对象：分别选质量为m1、m2的重物，以及绳子与滑轮接触部分和滑轮作为一个整体。它们的受力如图6.10所示。设重物m1的加速度为a，方向向下，滑轮的角加速度α沿顺时针方向为正。
步骤 2：写出运动微分方程
分别写出滑轮及重物的运动微分方程和必需的辅助方程：
- 对于滑轮：${F}_{11}R-{F}_{12}^{1}R={I}_{0}\alpha$
- 对于重物m2：${F}_{12}-{m}_{2}g={m}_{2}a$
- 对于重物m1：${F}_{m}-{m}_{1}g=-{m}_{1}a$
- 辅助方程：${R}_{\alpha }=\alpha$，${I}_{0}=\dfrac {1}{2}m{R}^{2}$，${F}_{n}=F'+1$，${F}_{n}={F}_{n}^{1}$
步骤 3：联立求解
联立上述方程，解得：
- 滑轮的角加速度：$\alpha =\dfrac {1}{R}\dfrac {{m}_{1}-{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}+\dfrac {1}{2}m}g$
- 重物的加速度：$a=\dfrac {{m}_{1}-{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}+\dfrac {1}{2}m}g$
- 绳中的张力：${F}_{n}=\dfrac {2{m}_{1}{m}_{2}+\dfrac {1}{2}m{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}+\dfrac {1}{2}m}g$，${F}_{n}=\dfrac {2{m}_{1}{m}_{2}+\dfrac {1}{2}m{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}+\dfrac {1}{2}m}$
选取研究对象：分别选质量为m1、m2的重物，以及绳子与滑轮接触部分和滑轮作为一个整体。它们的受力如图6.10所示。设重物m1的加速度为a，方向向下，滑轮的角加速度α沿顺时针方向为正。
步骤 2：写出运动微分方程
分别写出滑轮及重物的运动微分方程和必需的辅助方程：
- 对于滑轮：${F}_{11}R-{F}_{12}^{1}R={I}_{0}\alpha$
- 对于重物m2：${F}_{12}-{m}_{2}g={m}_{2}a$
- 对于重物m1：${F}_{m}-{m}_{1}g=-{m}_{1}a$
- 辅助方程：${R}_{\alpha }=\alpha$，${I}_{0}=\dfrac {1}{2}m{R}^{2}$，${F}_{n}=F'+1$，${F}_{n}={F}_{n}^{1}$
步骤 3：联立求解
联立上述方程，解得：
- 滑轮的角加速度：$\alpha =\dfrac {1}{R}\dfrac {{m}_{1}-{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}+\dfrac {1}{2}m}g$
- 重物的加速度：$a=\dfrac {{m}_{1}-{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}+\dfrac {1}{2}m}g$
- 绳中的张力：${F}_{n}=\dfrac {2{m}_{1}{m}_{2}+\dfrac {1}{2}m{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}+\dfrac {1}{2}m}g$，${F}_{n}=\dfrac {2{m}_{1}{m}_{2}+\dfrac {1}{2}m{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}+\dfrac {1}{2}m}$