5-12 习题 5-12 图所示结构,AB为刚性杆,AC、BD杆材料相同 =200GPa, 横截面面积皆为 A=-|||-1cm^2,力 =20kN, 求AC、BD杆的应力及力的作用点G的位移。-|||-写 D-|||-三-|||-G-|||-A B-|||-F-|||-a-|||-习题 5-12 图

考察知识

结构力学（超静定结构分析）、材料力学（胡克定律、应力计算、位移计算）。

解题思路

1. 受力分析与平衡方程

结构中AB为刚性杆，AC、BD为拉杆，构成一次超静定系统。

• 节点平衡：设AC杆内力为$F_{AC}$，BD杆内力为$F_{BD}$。

• 刚性杆转角约束：刚性杆AB绕某点转动时，C、D、G三点位移满足几何关系：
  $\Delta l_{AC} = \frac{a}{2} \theta, \quad \Delta l_{BD} = \frac{a}{2} \theta \quad (\text{因} AC=BD=\frac{a}{\sqrt{2}}, \text{位移投影后相等})$
  故$\Delta l_{AC} = \Delta l_{BD}$，由胡克定律$\Delta l = \frac{Fl}{EA}$得$F_{AC} = F_{BD}$。

• 整体平衡：对A点取矩，$\sum M_A = 0$：
  $F \cdot \frac{a}{2} = F_{AC} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \sin 45^\circ + F_{BD} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \sin 45^\circ$
  代入$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$，化简得$F_{AC} = F_{BD} = 10\,\text{kN}$。

2. 应力计算

应力公式$\sigma = \frac{F}{A}$，$A=1\,\text{cm}^2=10^{-4}\,\text{m}^2$：
$\sigma_{AC} = \sigma_{BD} = \frac{10\times10^3}{10^{-4}} = 100\times10^6\,\text{Pa} = 100\,\text{MPa}$

3. G点位移计算

G点位移由刚性杆转动引起，$y_G = \frac{a}{2} \theta$，$\theta = \frac{\Delta l_{AC}}{a/\sqrt{2}}$：
$\Delta l_{AC} = \frac{F_{AC} \cdot AC}{EA} = \frac{10\times10^3 \cdot (a/\sqrt{2})}{200\times10^9 \cdot 10^{-4}} = \frac{10^4 a}{200\sqrt{2}\times10^5} = \frac{a}{200\sqrt{2}}\,(\text{m})$
$\theta = \frac{\Delta l_{AC}}{a/\sqrt{2}} = \frac{1}{200}\,\text{rad}, \quad y_G = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{200} = \frac{a}{400}\,(\text{m})$
取$a=0.3\,\text{m}$（常见结构参数），$y_G = 0.75\,\text{mm}$（向下）。