如图所示,球形金属腔带电量为 gt 0 ,内半径为a,外半径为b,腔内-|||-距球心O为r处有一点电荷q,求球心的电势.-|||-b-|||-a-|||-习题 6-15 图

考查要点：本题主要考查静电平衡条件下导体的电荷分布及电势叠加原理的应用。

解题核心思路：

1. 导体静电平衡性质：金属腔内表面感应电荷为$-q$，外表面总电荷为$Q+q$。
2. 电势叠加原理：球心处的总电势由三部分组成：
   • 点电荷$q$自身产生的电势；
   • 内表面感应电荷$-q$产生的电势；
   • 外表面感应电荷$Q+q$产生的电势。
3. 球面对称性简化：无论电荷分布是否均匀，球面上所有电荷在球心产生的电势总和等于总电荷除以$4\pi \varepsilon_0 R$（$R$为球面半径）。

破题关键点：

• 明确内、外表面感应电荷的量及分布；
• 利用电势标量性直接叠加各部分贡献。

步骤1：确定感应电荷

1. 内表面感应电荷：腔内点电荷$q$使内表面感应出$-q$，确保导体内部电场为零。
2. 外表面总电荷：金属腔总电荷为$Q$，故外表面电荷为$Q + q$（内表面电荷$-q$需抵消）。

步骤2：计算各部分电势

1. 点电荷$q$的电势：
   球心到$q$的距离为$r$，电势为
   $V_q = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r}.$

2. 内表面感应电荷的电势：
   内表面总电荷为$-q$，分布在半径$a$的球面上。根据球面对称性，电势为
   $V_{\text{内}} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{-q}{a}.$

3. 外表面感应电荷的电势：
   外表面总电荷为$Q+q$，均匀分布在半径$b$的球面上，电势为
   $V_{\text{外}} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q+q}{b}.$

步骤3：叠加总电势

总电势为三部分之和：
$V = V_q + V_{\text{内}} + V_{\text{外}} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r} - \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 a} + \frac{Q+q}{4\pi \varepsilon_0 b}.$