题目
10-15 一个半径为R的圆盘均匀带电,电荷面密度为σ.求过盘心并垂直于盘面的轴-|||-线上与盘心相距a的一点的电场强度.
题目解答
答案
10-15 以盘心为坐标原点,取轴线为x轴, E=\\frac{\\sigma}{2 \\varepsilon_{0}}(1-\\frac{a}{\\sqrt{R^{2}+a^{2}}})i.
解析
步骤 1：确定电荷分布和电场方向
圆盘均匀带电，电荷面密度为σ。根据对称性，轴线上任意一点的电场方向沿轴线方向，即沿x轴方向。
步骤 2：计算圆盘上微元电荷对轴线上点的电场贡献
取圆盘上半径为r，宽度为dr的环形微元，其面积为dA=2πrdr，电荷量为dq=σdA=2πσrdr。该微元对轴线上与盘心相距a的一点的电场贡献为dE，根据点电荷电场公式，有
\[ dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{(r^2 + a^2)^{3/2}} a \]
其中，a为轴线方向的单位矢量。
步骤 3：积分求解总电场
将dE对r从0到R积分，得到总电场E：
\[ E = \int_0^R dE = \frac{\sigma a}{2\varepsilon_0} \int_0^R \frac{rdr}{(r^2 + a^2)^{3/2}} \]
令u=r^2+a^2，则du=2rdr，代入上式得
\[ E = \frac{\sigma a}{4\varepsilon_0} \int_{a^2}^{R^2+a^2} \frac{du}{u^{3/2}} = \frac{\sigma a}{4\varepsilon_0} \left[ -\frac{2}{\sqrt{u}} \right]_{a^2}^{R^2+a^2} \]
\[ E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left( 1 - \frac{a}{\sqrt{R^2 + a^2}} \right) a \]
圆盘均匀带电，电荷面密度为σ。根据对称性，轴线上任意一点的电场方向沿轴线方向，即沿x轴方向。
步骤 2：计算圆盘上微元电荷对轴线上点的电场贡献
取圆盘上半径为r，宽度为dr的环形微元，其面积为dA=2πrdr，电荷量为dq=σdA=2πσrdr。该微元对轴线上与盘心相距a的一点的电场贡献为dE，根据点电荷电场公式，有
\[ dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{(r^2 + a^2)^{3/2}} a \]
其中，a为轴线方向的单位矢量。
步骤 3：积分求解总电场
将dE对r从0到R积分，得到总电场E：
\[ E = \int_0^R dE = \frac{\sigma a}{2\varepsilon_0} \int_0^R \frac{rdr}{(r^2 + a^2)^{3/2}} \]
令u=r^2+a^2，则du=2rdr，代入上式得
\[ E = \frac{\sigma a}{4\varepsilon_0} \int_{a^2}^{R^2+a^2} \frac{du}{u^{3/2}} = \frac{\sigma a}{4\varepsilon_0} \left[ -\frac{2}{\sqrt{u}} \right]_{a^2}^{R^2+a^2} \]
\[ E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left( 1 - \frac{a}{\sqrt{R^2 + a^2}} \right) a \]