题目
如图所示，两个均匀带电的金属同心球壳，内球壳半径为R1，带电q1，外球壳半径为R2，带电q2，试求两球壳之间任一点((R)_(1)lt rlt (R)_(2))的场强与电势？ ((R)_(1)lt rlt (R)_(2))
如图所示，两个均匀带电的金属同心球壳，内球壳半径为R1，带电q1，外球壳半径为R2，带电q2，试求两球壳之间任一点
的场强与电势？ 
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定高斯面
选择一个半径为r的球面作为高斯面，其中${R}_{1}\lt r\lt {R}_{2}$，即高斯面位于两个球壳之间。
步骤 2：应用高斯定理
根据高斯定理，穿过高斯面的电通量等于高斯面内所有电荷的代数和除以真空介电常数${\varepsilon }_{0}$。即
$$\oint \overrightarrow {E}\cdot d\overrightarrow {s}=\dfrac {\sum _{q}^{2}q}{{\varepsilon }_{0}}$$
由于高斯面内只有内球壳的电荷$q_1$，所以
$$E\cdot 4\pi {r}^{2}=\dfrac {{q}_{1}}{{\varepsilon }_{0}}$$
解得电场强度$E$为
$$E=\dfrac {{q}_{1}}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}$$
方向沿径向向外。
步骤 3：计算电势
电势$U$可以通过电场强度$E$的积分得到，即
$$U=-\int _{r}^{\infty }E\cdot dr$$
将$E$代入上式，得
$$U=-\int _{r}^{\infty }\dfrac {{q}_{1}}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}dr$$
积分得
$$U=\dfrac {{q}_{1}}{4\pi {\varepsilon }_{0}r}$$
由于外球壳的电势在$r$处为常数，即
$$U_{2}=\dfrac {{q}_{2}}{4\pi {\varepsilon }_{0}{R}_{2}}$$
所以总电势为
$$U=U_{1}+U_{2}=\dfrac {{q}_{1}}{4\pi {\varepsilon }_{0}r}+\dfrac {{q}_{2}}{4\pi {\varepsilon }_{0}{R}_{2}}$$
选择一个半径为r的球面作为高斯面，其中${R}_{1}\lt r\lt {R}_{2}$，即高斯面位于两个球壳之间。
步骤 2：应用高斯定理
根据高斯定理，穿过高斯面的电通量等于高斯面内所有电荷的代数和除以真空介电常数${\varepsilon }_{0}$。即
$$\oint \overrightarrow {E}\cdot d\overrightarrow {s}=\dfrac {\sum _{q}^{2}q}{{\varepsilon }_{0}}$$
由于高斯面内只有内球壳的电荷$q_1$，所以
$$E\cdot 4\pi {r}^{2}=\dfrac {{q}_{1}}{{\varepsilon }_{0}}$$
解得电场强度$E$为
$$E=\dfrac {{q}_{1}}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}$$
方向沿径向向外。
步骤 3：计算电势
电势$U$可以通过电场强度$E$的积分得到，即
$$U=-\int _{r}^{\infty }E\cdot dr$$
将$E$代入上式，得
$$U=-\int _{r}^{\infty }\dfrac {{q}_{1}}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}dr$$
积分得
$$U=\dfrac {{q}_{1}}{4\pi {\varepsilon }_{0}r}$$
由于外球壳的电势在$r$处为常数，即
$$U_{2}=\dfrac {{q}_{2}}{4\pi {\varepsilon }_{0}{R}_{2}}$$
所以总电势为
$$U=U_{1}+U_{2}=\dfrac {{q}_{1}}{4\pi {\varepsilon }_{0}r}+\dfrac {{q}_{2}}{4\pi {\varepsilon }_{0}{R}_{2}}$$