题目
14.已知一束光线在空气中从点A到达水面上的点P,然后折射到水下的点B (如图),设光线在空气-|||-中的速度为C,在水中的速度为C`,光线在点P的入射角为θ,折射角为θ`。-|||-(1)若OP的长为x0,请写出光线从点A到达点B所需的时间T(x0)的表达式;-|||-(2)若T(x0)是光线由点A到达点B所需时间的极小值,证明: dfrac (sin theta )(sin theta ')=dfrac (C)(C')-|||-A.-|||-h,-|||-o x0 θ-|||-h2 :-|||-B
题目解答
答案
解析
步骤 1：光线从A到P的时间
光线从点A到点P的路程为$\sqrt{x_0^2 + h_1^2}$，速度为C，因此时间是$\dfrac{\sqrt{x_0^2 + h_1^2}}{C}$。
步骤 2：光线从P到B的时间
光线从点P到点B的路程为$\sqrt{(l-x_0)^2 + h_2^2}$，速度为C'，因此时间是$\dfrac{\sqrt{(l-x_0)^2 + h_2^2}}{C'}$。
步骤 3：总时间T(x0)
光线从点A到点B的总时间是两段路程时间之和，即$T(x_0) = \dfrac{\sqrt{x_0^2 + h_1^2}}{C} + \dfrac{\sqrt{(l-x_0)^2 + h_2^2}}{C'}$。
步骤 4：极小值条件
为了使T(x0)取极小值，需要求导数并令其等于0，即$\dfrac{dT}{dx_0} = 0$。
步骤 5：导数计算
$\dfrac{dT}{dx_0} = \dfrac{x_0}{C\sqrt{x_0^2 + h_1^2}} - \dfrac{l-x_0}{C'\sqrt{(l-x_0)^2 + h_2^2}}$。
步骤 6：极小值条件下的关系
当$\dfrac{dT}{dx_0} = 0$时，有$\dfrac{x_0}{C\sqrt{x_0^2 + h_1^2}} = \dfrac{l-x_0}{C'\sqrt{(l-x_0)^2 + h_2^2}}$。
步骤 7：利用三角函数关系
由于$\sin \theta = \dfrac{x_0}{\sqrt{x_0^2 + h_1^2}}$，$\sin \theta' = \dfrac{l-x_0}{\sqrt{(l-x_0)^2 + h_2^2}}$，因此有$\dfrac{\sin \theta}{C} = \dfrac{\sin \theta'}{C'}$。
步骤 8：最终关系
整理得到$\dfrac{\sin \theta}{\sin \theta'} = \dfrac{C}{C'}$。
光线从点A到点P的路程为$\sqrt{x_0^2 + h_1^2}$，速度为C，因此时间是$\dfrac{\sqrt{x_0^2 + h_1^2}}{C}$。
步骤 2：光线从P到B的时间
光线从点P到点B的路程为$\sqrt{(l-x_0)^2 + h_2^2}$，速度为C'，因此时间是$\dfrac{\sqrt{(l-x_0)^2 + h_2^2}}{C'}$。
步骤 3：总时间T(x0)
光线从点A到点B的总时间是两段路程时间之和，即$T(x_0) = \dfrac{\sqrt{x_0^2 + h_1^2}}{C} + \dfrac{\sqrt{(l-x_0)^2 + h_2^2}}{C'}$。
步骤 4：极小值条件
为了使T(x0)取极小值，需要求导数并令其等于0，即$\dfrac{dT}{dx_0} = 0$。
步骤 5：导数计算
$\dfrac{dT}{dx_0} = \dfrac{x_0}{C\sqrt{x_0^2 + h_1^2}} - \dfrac{l-x_0}{C'\sqrt{(l-x_0)^2 + h_2^2}}$。
步骤 6：极小值条件下的关系
当$\dfrac{dT}{dx_0} = 0$时，有$\dfrac{x_0}{C\sqrt{x_0^2 + h_1^2}} = \dfrac{l-x_0}{C'\sqrt{(l-x_0)^2 + h_2^2}}$。
步骤 7：利用三角函数关系
由于$\sin \theta = \dfrac{x_0}{\sqrt{x_0^2 + h_1^2}}$，$\sin \theta' = \dfrac{l-x_0}{\sqrt{(l-x_0)^2 + h_2^2}}$，因此有$\dfrac{\sin \theta}{C} = \dfrac{\sin \theta'}{C'}$。
步骤 8：最终关系
整理得到$\dfrac{\sin \theta}{\sin \theta'} = \dfrac{C}{C'}$。